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Haupt-Satz. Die einzigen Eigens chaften einer home- 

 genen Gruppe, die hei beliebig en homogenen Beruh- 

 rungs- Trans f or mationen inv ariant bleiben, sind 1) die 

 Zahl der Glieder r, 2) die Zahl der aus gezeichneten 

 Funktionen m, 3) die Zahl der aus g ez eichneten Funk- 

 tionen nullter Dimension m oder m — 1. Hier ist r eine 

 g anze p ositive Zahl, die nicht grosser als 2n sein hann; 

 m hann offenbar nicht grosser als r sein. Und endlich 

 fanden wir in der vor ang ehenden Abhandlung die, Be- 

 dingung s- Gleichung r + ni < 2n. 



Dieser Satz ist das wichtigste Ergebniss dieser Abhandlung; 

 derselbe ist mit den Såtzen 5 und 9 dieses Paragraphs aeqvivalent. 



Wichtig ist folgende evidente Bemerkung: Fuhrt eine homo- 

 gene Beruhrungs- Trans formation die homogene Gruppe (h l h 2 . . . h r ) 



in (Hj H 2 H r ) iiber, so geht der lnbegriff von den Funktionen 



nullter Dimension der ersten Gruppe in die Funktionen nullter 

 Dimension der zweiten Gruppe iiber. 



§ 9- 



Andeutungen hinsichtlich neuer Integrations-Theorien. 



Die vorangehenden Entwickelungen, die zunachst ihren Werth 

 an und fur sich haben, konnen nach verschiedenen Seiten ausge- 

 nutzt werden. Beispielsweise stiitzen sich hierauf einfache Me- 

 thoden zur Bestimmung von Gruppen, die in irgend einer Weise 

 definirt sind; diese Andeutung werde ich in einer spåteren Ab- 

 handlung, welche partiellen Differential-Gleichungen hoherer Ord- 

 nung mit intermediaren Integralen gewidmet ist, nåher ausfuhren 1 



Hier beschrånke ich mich darauf gewisse Vereinfachungen in 

 der Integration der Gleichungen 



F (zxj i . . p n _ 1 ) = o 

 anzugeben; ich verweise auf den entsprechenden Paragraph (§ 6) 

 der vorangehenden Abhandlung. 



1 Hier sei angefuhrt, dass die Bestimmung von Involutions-Systemen einer homo- 

 genen Gruppe i mm er Vereinfachungen gestattet. 



