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Methode der Fall; im Uebrigen haben beide Methoden ihre selbst- 

 ståndige Berechtigung. Zuerst muss ich einen Hiilf-Satz vor- 

 ausscliicken. 



Hiilf-Satz. Sind X t . . . . X q FunJctionen von x 1 . . . x„ p x 

 . . . p n , die paarweise (X; X k ) = genugen, so giébt es unter den 

 Losungen des vollstdndigen Systems (n. 4 Anmerkung unter der 

 Seite). 



ftFJ^O .... [X q F] = 



einige, welche die Form F = Az -f- II besitzen. Hier ist A eine Con- 

 stante und II eine lunktion von x t . . . p n . 



Unser Satz koramt darauf hinaus, dass die Gleichungen 



.... [X, F]=0, f = A (1) 

 gemeinsame Losungen besitzen. Um dies nachzuweisen, versuchen 

 wir eine solche Funktion $ von F z x t . . . p n zu finden, dass wenn 

 man die Gleichung 



$ = Const. 



hinsichtlich F auflost, so erhålt man eine Funktion von zx t . . . p„, 

 welche den Relationen (1) geniigt. Es zeigt sich, dass $ durch 

 folgende Gleichungen 



d<£ d<£ 



[X, *] = . . . [X q *] = 0, J| + A ( | lz = 



bestimmt ist, und dieselben bilden ein vollstiindiges System, da 

 jedesmal zwei beliebige unter ihnen ein solches System bilden. 1 



1 Hier mftge der folgende Satz seincn Platz finden. Derselbe kommt zur Anwcndung 

 in § 4. 



Hiilf-Satz. Kennt man unter den Losungen des vollstdndigen Systems: 



[X, F]=0 [X n F] = 



eine, welche die Form A | z + 1 1 (x, . . . p n ), besitzt ; so ist 



A 2 z+ A " II -f- il (Xi . . . X„), 

 Ai 



uw eine arbitriire Funktion bezeichnet, eine allgemeinere solche Losung, und zwar 

 die allgeineinste von der besprochenen Fonn. 



Mn n eikcniit »ogleicli dass A 2 I + ^ 2 \{ x, Q (Xi , . X n ) eine Losung 



Ai 



unserc» vollstandigen Systems ist; dnss sie die allgcmeinste jcncr Form ist, lasst 

 sich folgendcrmassen einsclicn. 

 Seien 



