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Auf diese Gleichung fuhren wir unsere Beruhrungs-Transformation 

 aus. Rechts und links erhalten wir (n + l)gliedrige Ausdriicke, 

 deren Glieder Funktionen von z x, . . . p n sind. Nach der Defini- 

 tion der Beruhrungs-Transformationen geht aber 



dz' — p', åx\ . . . — p' n dx'„ in p (dz — p t dxj ... ) 

 uber, und also besitzt die transformirte Gleichung folgende Form 

 o (dz — p, dx x . . . — p n dx„) = O t do! + . . . O n + 1 åu\ + , (B) 



wo alle Oj und «; diejenigen Funktionen von z Xi p n sind, 



in welche unsere Beruhrungs-Transformation alle und w' iiber- 

 fiihrt. Wir wissen aber (§ 1, 4), dass wenn «! . . . o„ + i solche 

 Funktionen von z x x . . . p„ sind, dass eine Gleichung der Form B 

 stattfindet, so muss immer 



[«j «k]x p = o, 



und also verschwindet insbesondere [«i o 2 ] x( „ was behauptet wurde. 

 Satz. Definiren die Gleichung en 



z'= Z; xV=Xi; pV==Pi 

 eine Beruhrungs-Transformation, so. geiten die Belationen 



[z x|] = [x, x k ] = [X; p k ] = [p, p k ] == o. 



Die beiden Relationen 



[ZXJ~ : 6, [Xi X k ] = 

 wurden schon im ersten Paragraphe bewiesen. Die Relation 



[X; P k ] xp = 

 folgt daraus (sieh den vorangehenden Satz), dass 



[x# k t p « = 



und dass unsere Beruhrungs-Transformation die Funktionen x\ p' 

 bez. in X und P uberfuhrt. Ebenso muss 



[PiP k ]xp = 



da 



tP'iP'k].'p' = o 



Satz. Sind Xj tind Pj Funktionen von x { . . . p n , und definiren 

 (sieh § 2) 



z' = Az + n, x'; = X ; , p'i = Pi 

 eine Beruhrungs-Transformation zivischen x p, so muss 

 (X 1 P 1 ) = (X 2 P 2 ) = . . . = (X„P n ) = A. 

 Hier ist A dienige Constante, die in der Gleichung z' = Az + IT 

 auftritt. 



