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als Verhåltnissgrossen, welche die Lage einer durch den Punkt 

 x . . . x n hindurchgehenden ebenen Mannigfaltigkeit 



*o ( x 'o - x o) + TC i ( x 'i — + . . . + 7U n (x'„ - x„) = 

 bestimmen. Bezeichnen wir den Elementartheil dieser Mannigfal- 

 tigkeit, der dem Punkte x . . . x n benachbart ist, kurzweg als ein 

 Element, so konnen wir die Grossen x . . . x n 7r . . . 7r n als Coor- 

 dinaten eines Elements betrachten. Die Gleichung 

 tu dx + rc 1 dx 1 + . . . + K n dx n = 

 sagt, dass die Ebene des Elements (x . . . tc„) den Punkt des 

 benachbarten Elements (x + dx . . . ) enthålt, oder wie ich 

 der Kiirze wegen mich ausdriicke, dass diese beiden Elemente 

 vereinigt Hegen. Also kommt unser allgemeine Problem darauf 



hinaus : die oo 2n + 1 Elemente x . . . n n auf alle mogliche Weisen in 

 n-fach unendliche Schaaren m zerlegen derart, dass jedes Element 

 mit allen benachbarten Elementen derselben Scliaar vereinigt liegt. 



Um die schon gegebene Losung interpretiren zu konnen, be- 

 merken wir, dass die Elemente, die sich an einer (n— q)-fach aus- 

 gedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit 



Xk^fkCXq + i . . . .x n ) (k = 1 . . . q) 

 anschliessen, durch die eben geschriebenen Gleichungen zusammen 

 mit den n — q folgenden 



° = -o^+- ld t+--.+- 1 ^+^ (k = q + l...n) 

 bestimmt sind. 



Es ist also moglich die oo 2n 1 Elemente eines (w -f- l)-facli 

 ausgedehnten Baumes in n-fach unendliche Schaaren zusammcnzu- 

 fassen, derart dass jedes Element mit allen benachbarten Elementen 

 derselben Schaar vereinigt liegt. Solche Schaaren bilden alle Ele- 

 mente, die sich an irgend einer q-fach ausgedehnten Punkt-Mannig- 

 faltigkeit anschliessen ; uud andere dcrartige Schaaren giebt es nicht. 



Die Element-Mannigfaltigkeiten M„ ordnen sich hiernach in n -f- 1 

 Categorien nach der Dimension der zugehorigen Punkt-Mannigfal- 

 tigkeit (d. h. nach der Zahl der Kelationen zwischen den x, die 

 aus den Gleichungen unserer M n nach der Elimination der tc her- 

 vorgehen). Zuweilen brauche ich das Symbol 



