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um eine Element-Mannigfaltigkeit M n zu bezeiclinen, deren zuge- 

 horige Punkt-Mannigfaltigkeit von k ,e r Dimeasion ist. Dementspre- 

 chend konnte ich mit 



M 



? 



den Inbegriff vonoo? vereinigt liegenden Elementen bezeiclinen, die 

 sicb an einer k-fach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit anschliessen. 



§ 2. 



Formulirung eines aMgemeinen Problems. 



3. Nun konnen wir unser allgemeine Problem formuliren. 

 Dasselbe umfasst als speciellen Fall das allgemeinste Problem, 

 welches man frtiher in der Theorie partieller Differential-Gleichungen 

 i. 0. bebandelt hat. 

 • Problem. Vorgelegt seien q Gleichungen der Form 

 F k (x . . . x n tt . . . - n ) =0, 

 die hinsichtlich der k von nullter Ordnung sind. Man soll in allge- 

 meinster W eise n -f- 1 — q tveiter e Gleichungen finden, ivelche zusam- 

 men mit den gegebenen die Differenticd-jRelation 



tt dx -f- tuj dxj + . . . + 7r n dx n = 

 identisch befriedigen. 



Unser Problem kommt darauf hinaus, alle M n zu finden, deren 

 Elemente q gegebenen Relationen zwisclien den Element-Coordi- 

 naten befriedigen. Nennen wir solcbe Mannigfaltigkeiten Integral- 

 M n der betreffenden Gleichungen, konnen wir unser Problem folgen- 

 dermaasen ausdriicken : 



Man soll alle Integral- M. n von q gegebenen Gleichungen ziuischen 

 x . . . x n tc . . . 7T n bestimmen. 



Frtiher steilte man die Forderung, dass die gesuchten Mannig- 

 faltigkeiten auchalsPunktgebilde n-fach ausgedehnt seien; man suchte 



alle Integral -M (n) von den betreffenden Gleichungen. 



Es giebt ein ausgezeichneter Fall, in dem unser allgemeine 

 Problem sich durch ausftihrbare Operationen d. h. Differentiationen 

 und Eliminationcn erledigen låsst. Enthalten namlich unsere Glei- 

 chungen nur die x 



f k (x x x . . . x B ) = 0, k-0 1 ... q 



