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§ 3. 



Zwei Fundamental-SåtZe. 



Die Theorie dieser Abhandlung beruht auf zwei fundamentale 

 Såtze, die in diesem Paragraphe bewiesen werden sollen. 



5. Der erste beziebt sich auf alle Integral-M„ einer Gleichung F=0. 

 Doch ist es naturgemåss oder jedenfalls bequem, sicb zunachst auf sol- 

 che Integral-M n zu beschråncken, deren Gleichungen eine bestimmte 

 x k etwa x enthalten. Setzen wir nun, um uns moglichst viel der 

 gewohnlichen analytisclien Darstellung anzuscbliessen 



X = Z, X k = X k , TC k = — 5T p k , 



so nimmt die vorgelegte Gleichung die Form 



F(zx! . . . x„ — Pi . . . — p n ) = 0, 

 und die betreffenden Integral-M„ driicken sich folgendermaasen aus 



(A) |z — p lXl — — p q x q = W, x k = — -7 lp — , 7u a == -^-t- 



k = 1 . . . q, a = q, + 1 . . . n. 

 Es sind also alle Gleichungs-Systeme dieser Form, die mit 

 F = algebraisch vereinbar sind, welche zunachst den Gegenstand 

 unserer Betrachtung bilden. Hier ftihren wir die Discussion in 

 verschiedener Weise, jenachdem q gleich Null oder von Null ver- 

 schieden ist. 



Ist q = 0, so heisst dies, dass wir alle Gleichungs-Systeme 



dW 



(B) z = W (x t . . . x n ), p k = -fe— 



betrachten, die mit F = algebraisch vereinbar sind. Ein solches 

 Gleichungs-System bestimmt z und die Grossen p als Funktionen 

 von den x, die selbst vollstandig unabhangig bleiben. Darum ist 

 unser System mit den n Relationen 



dF - , 



in denen s irgend eine infinitesimale Grosse bezeichnet, zusam- 

 men mit der aus ihnen hervorgehenden Gleichung 



dz= _ s(Pl ^ + ... +p „ s 



vereinbar. Es handelt sich darum die entsprechenden Incremente 



