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§ 4. 



Theorie der vollstandigen Lastingen. 



In dem vorangehenden Paragraphe hebten wir wiederholt her- 

 vor, dass wir keinesweg bewiesen hatten, dass saromtliche Integral- 

 M n einer Gleichung F = von charakteristischen Streifen erzeugt 

 sind. sondern nur, dass so im Allgemeinen der Fall ist. Unsere 

 Betrachtungen gestatten in derThat noch die Moglichkeit, dass es 

 unbegrenzt viele Integral-M n giebt, die allerdings ausser der vor- 

 gelegten Gleichung F = noch eine zweite Gleichung zwischen 

 den x und IT befriedigen miissen, welche keine solche Erzeugung 

 gestatten. Es hat, scheint es mir. ein bedeutendes Interesse, die 

 wahre Begrenzung unsere Satzes 1 aus einem eingehenden Studium 

 des simultanen Systems 



zu ziehen; ich habe mich indess darauf beschråncken mussen wie 

 bei meinen urspriinglichen Untersuchungen uber diesen Gegenstand 

 einen indirekten Weg zu geben, dies umsomehr wie ich gleichzeitig 

 die Theorie der vollstandigen Losungen erweitere. 



7. Ich nenne den Inbegriff von oo 11 Integral- M n 

 x + • • • + x q n , = W(i2o . . . 7T q x q + i . . . x„ a, . . . . aj 

 einer vorgel.egten Gleichung F = eine vollstdndige Losung von 

 F— 0, ivenn jedes Element di eser Gleichung in einer M n der hc- 

 treffenden Schaar enthalten ist. Hiermit ist die Moglichkeit nicht 

 ausgeschlossen , dass jedes Element in mehreren M n der Schaar ent- 

 halten ist. 



Es handelt sich zunåchst darum die allgemeine Existenz der 

 vollstandigen Losungen nachzuweisen. Hierzu brauchen wir nur 

 den letzten Satz des vorangehenden Paragraphes (Theorem III). 



Wahlen wir irgend eine Relation zwischen den x 

 f(x . . . x n ) = 0, 

 so lasst sich immer entscheiden, ob die durch diese Gleichung 

 zusammen mit der vorgelegten 



1 In diesem Paragraphe geben wir eine vollståndig neue und scharfere Begriinduug 

 des Theorems 2. 



