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Theorem 11. Alle Integral~M a einer Gleickung F= 0,ausge~ 

 nommen Jidchstens eine einziye, sind von CharaMeristiken erzeugt. 



Hiermit haben die Entwickelungen des vorangehenden Para- 

 graphes ihre wahre Begrenzung erlialten. 1 



Ehe ich diesen Paragraph schliesse, werde ich einen ånderen 

 Beweis des Satzes, dass jede Gleichung F = a eine vollståndige 

 Losung besitzt, andenten. Hieriiber ausfiihrlicher spater. 



Seien n + 1 Gleichungen zwischen x . . . x n II . . . JI B vorgelegt 

 F = a , . . . . F n = a n 

 welche den Ausdruck 27Idx identisch verschwinden lassen. Sind 

 nun alle a k arbitråre Constanten, so gilt eine Gleichung der Form 



(A) JiTdx = rA k dF k ; 



dann aber bestehen zwischen den F die charakteristischen Relationen 



(B) (F s F k ) = 0. 



Ist nun F () irgend eine vorgelegte Funktion, so existiren immer n 

 weitere von einandern unabhångige Funktionen F k , welche (F, F k ) = 

 geben. Dann aber definiren die Gleichungen 

 Fi = a t . . . . F„ = a n 

 eine vollståndige Losung von F = a . Wiinscht man endlich die- 

 selbe auf die canonische Form 



x n + . . . x q J7 q = W(17 . . . JI q x q + , . . . x n a x . . . a„) 

 zu bringen, so muss man wie im ersten Paragraphe verfahren. 

 Diese Beweis-Methode ist vielleicht als einfacher als die obenge- 

 gebene zu betrachten. Freilich muss man dann den Satz, dass B 

 eine Consequenz von A ist, nicht wie ich, sondern wie Mayer es 

 gemacht hat, beweisen. 2 



1 Die Entwickelungen dieses Paragraphes zeigen, dass die charakteristischen Streifes 

 einer Gleichung F = sich gewissei maasen als die Eleinente eines n-fach aus- 

 gedehnten Kaurnes abbilden lassen. Diese Bemerkung. die sich auf Involutions- 

 Systenie ausdehnt. hat hei meinen synthetrchen Untersuchungen eine wichtige 

 Kolle gespielt. 



? Lass mich hei dieser Golcgenheit hervorhehen, dass eine Translormation zwischen 

 den Variahclsystcmen x„ . . x n // . . . JJ n und x . . . x' n A7' • • f n , 

 wclcher die Gleichung 



2JXd* 211' å*! 



btattfindet, die Eigenschaft besitzt, Elemejit-Mannigfaltigkeiteo Mn in solchc ftbcr- 

 zufuhren. 



