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§ 5. 



Involutions-Systeme. Ihre Infegration. 



ln diesem Paragraphe betrachten wir Gleichungs-Systeme der 

 Form 



n k —n f k = o k = i . . . . q 



x a — 9 a = a = q + 1 . . . o 



wo die Grossen JTj . .. . JT q x q + i . . . j x () nicht in den Funktionen 

 f und 9 vorkommen. Bestehen hier die Relationen 

 (Hi-JTt.Ji; — X5)=*.0, (iT k -JTf k ,x i ^9i) = J (x k -^x-^) = 

 so nennen wir das Gleichungs-System ein Involutions-Syatevn. Wir 

 sagen auch haufig, dass die betreffenden Funktionen in Involutions- 

 Beziehung stehen. 



9. Zuerst erledigen wir den Fall, q = 2, o = 0, d. h. wir be- 

 trachten Involutions-Systeme der Form 



n i — n k = o, n 2 — nu = o ; 



wir zeigen, dass zwei solche Gleichungen gemeinsame Integral-M n 

 besitzen und geben eine allgemeine Methode zu ihrer Bestimmung. 



Satz I. Stehen die helden Funktionen JTj — ni t und TI 2 — J7f 2 

 in Involutions-Beziehung, so bilden die linear en Gleichungen 



(u, - m v V) = o, (rir, — nf 2 , V) = o, 3fi g = o, 



ivelche V als Funktion von x . . . x n II . . . TI n bestimmen, ein 

 vollstcindiges System. 

 Setzen wir nehmlich 



(JT-TTf,, V) = A^V), (iT 2 -r/f 2 , V) = A 2 (V), ^/I^ = A 3 (V), 



so finden wir durch Ausfuhrung 



A, (A 2 (V)) - A 2 (A t (V)) = 0, A, (A, (V)) - A 3 (A t (V)) = 2aA 



MA 3 (V))-A 3 (A 2 (V))«*A 

 Nun steht nur zurtick nachzuweisen, dass zwischen A l (V), A 2 (V) 

 und A 3 (V) keine lineare Relation stattfindet. Dies folgt aber daraus, 



dass ~ sich nur in A t (V) und -~~ nur in A 2 (V) findet. Hiermit 



ist unser Satz bewiesen. Sind nun . . . tøri-s ein System L6- 

 sungen unseres vollståndigen Systems, so bestimmen die Gleichungen 



