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Wir bringen die vorgelegten Gleichungen auf die Form 



(A) Hi— Jlf, = . . . . JT a - JTf a - fcxJjr, 9a+i = . . . x q - 9q = 

 wo die Funktionen f und 9 nicht die Grossen ITj . . iT a x a+i . . . x q 

 enthalten. Wir bilden die Gleichungen 



(B) (J7 k -Uf k! n -ni) = 0, (iT k -7Tf k , Xi — <p0 = 0, (x,— 9k , Xi - 9i ) = 0, 

 welche offenbar auch nicht JT X . . . 77 a x a+1 ... x q enthalten. Hier 

 sind nun zwei Falle denkbar; entweder sind diese neue Gleichun- 

 gen algebraische Consequenzen der vorgelegten q; und dieskommt 

 nach dem Obenstehenden darauf hinaus, dass die Gleichungen A 

 schon ein Involutions-System bilden. Oder auch sind die Gleich- 

 ungen (B) keine algebraische Consequenzen der Gleichungen (A); 

 dann ist unser Problem darauf zurtickgefiihrt die gemeinsamen In- 

 tegral-M M von q -f- q' Gleichungen zu bestimmen. Dieses Gleichungs- 

 System behandeln wir wie das vorgelegte. Entweder kann es sogleich 

 auf die Form eines Involutions-Systems gebracht werden, oder auch 

 findet man wieder neue Gleichungen, welche hinzuzufiigen sind. 

 Indem man nun weiter geht, darf man nach der Natur des Problems 

 nie mehr als n + 1 Gleichungen finden ; also erhalt man, wenn iiber- 

 haupt die vorgelegten Gleichungen gemeinsame Integral-M,, besitzen, 

 zuletzt ein Involutions-System, deren Integral-M M eben die Inte- 

 gral-M n der gegebenen q Gleichungen sind. 



Indem ich schliesse, muss ich einige Mangel der vorangehenden 

 Abhandlung andeuten. Was einerseits der Form betrifft, so bin ich, 

 um moglichst viel meine ursprungliche, wesentlich synthetische 

 Form zu bewahren, zu wenig auf analytische Entwickelungen einge- 

 gangen. Noch wichtiger ist die folgende Bemerkung, die ich tibri- 

 gens nur fur den Fall n = 3 formulire. Die alte Theorie partieller 

 Differential-Gleichungen 1. 0. beriicksichtigt nicht den Fall, dass 

 die Integralflachen in Curven und Punkte ausarten. .Darum komite 

 man sich friiher bei der analytischen Begrlindung mit den drei 

 Cartesischen Coordinaten begniigen; es schadete ja nichts, dass die 



Vid.-Selsk. Forh. 1874. 15 



