Zur Theorie des Integrabilitåtsfaktors. 



Von 



Sophus Lie. 



Mein Freund Klein und ich haben, allgemein ausgesprochen, 

 die Aufgabe gestellt, Eigenschaften eines vorgelegten Systems Dif- 

 ferential-Gleichungen, die a priori bekannt sind. moglichst vi el fur 

 die Integration derselben zu verwerthen. Schon långst hat man in 

 besonderen Fallen derartige Fragen erledigt. So weiss man z. B. 

 diejenige Eigenschaft einer gewohnlichen Differential-Gleichung, die 

 darin besteht, dass sie homogen oder linear ist, auszunutzen; man 

 kann ferner die Krummungslinien oder geodåtischen Curven einer 

 Cylinderflåche, Kotationsflåche oder Schraubenflåche bestimmen, 

 wåhrend fur andere Flåchen die betreffenden Differential-Gleichun- 

 gen sich im Allgemeinen nicht behandeln lassen, u. s. w. Es fehlte 

 aber in allen diesen particulåren Theorien ein allgemeines Princip. 

 Klein und ich haben viele solche Betrachtungen unter einem Ge- 

 sichtspunkte vereinigt, indem wir zeigten, dass die bekannten Eigen- 

 schaften,- die man verwerthet hatte, sich sehr haufig darauf zuruck- 

 fiihren liessen, dass man gewisse infinitesimale Transformationen 

 kannte, welche såmmtliche Integrale der vorgelegten Differential- 

 Gleichungen in ebensolche uberfiihrten. 1 Hier steilt sich mit Noth- 

 wendigkeit folgendes Problem. 



Vorgelegt seien ir g end eine Zahl Differential-Gleichung en, ge- 

 wbhnliche, totale oder partielle (oder Pfaff sche Probleme) und man 

 henne mekrer e infinitesimale Transformationen, ivelche såmmtliche 



1 Schon frfthcr habe ich nngefuhrt, dass die Aufstcllung der ersten Schwerpunkt- 

 Integrale und der Flachen-Satze in der Mechanik auf einen solchen Umstand 

 beruht. Darum dehnt sich diese Theorie auf einen nichteuclidischen Raum mit 

 constantem Kriimmungsmaase aus. 



