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Integrerte in eben solche uberfiihren; wie zieht man hieraus den 

 grosstmdglichen Vortheil fur die Integration. 



In der fruher citirten Abhandlimg betrachteten wir eine ge- 

 wbhnliche Differential-Gleichung 1. 0. 



F(xyy') = 



mit einer bekannten infinitesitnalen Punkt-Transformation, und zeigten, 

 dass es moglich war, eine aequivalente Gleichung 



f(xyy') = 



aufzustellen, die nur von der Transformation abhing; konnte man 

 f=0 integriren, und das war sehr haufig der Fall, so verlangte 

 die Integration von F = nur Quadratur. Ich werde jetzt zeigen, 

 dass die Integration der Hulf- Gleichung unnothig ist, indem man 

 unter den gemachten Voraussetzungen immer einen Integrabilitåts- 

 faktor von F = angeben kann. Umgekehrt kann man, wenn man 

 einen Integrabilitåtsfaktor von F = kennt, eine infinitesimale 

 Transformation finden, welche diese Differential-Gleichung in sich 

 selbst transformirt. Hiermit findet das von Klein und mir gestellte 

 Problem, beschrånckt auf gewohnliche Differential-Gleichungen 1. 0, 

 seine Erledigung. Gleichzeitig ivird das Wesen des Integrabilitats- 

 faktors aufgedeckt. 



Mit dem allgemeinen Probleme habe ich mich schon wiederholt 

 beschåftigt. Ich vorbereite eben zwei eingehende Arbeiten, unter 

 denen die eine vollståndige Systeme linear er partieller Differential- 

 Gleichungen, die andere beliebige partielle Differential-Gleichungen 

 1. 0. behandeln wird. 



Infinitesimale Transformationen einer gewohnlichen Diferential- 



Gleichung i. 0. 



Fasst man wie gewohnlich x y als Punkt-Coordinaten einer 

 Ebene, x, y, y' als Bestimmungsstiicke eines Linienelements auf, 

 so definirt eine Gleichung der Form 



y' + f(x y) = 



zweifach unendlich viele Linienelemente, die sich bekanntlich zu 



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