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iiber. Sollen diese beiden Curven-Schaaren identisch sein, so muss 89 

 eine Funktion von 9 sein, d. h. es besteht eine Gleichung der Form 



was wieder heisst, dass ~ £ -f- ^ r\ eine Losung von A(f) = ist. 

 Also 



Satz 2. Gestattet die linear e partielle Differential-Gleichung 

 A(f) = xf + Yf-0 



v 7 dx 1 dy 



die infinitesimale Trans formation hæ = £ht, hy — so ist der 

 Ausdruclc § + ^ ~j~ jedesmal eine Losung von A(f) — 0, wenn 9 



eine solche ist. 



Setzt man jetzt in der identischen Gleichung 



v d f. c df . df \ . v d- / fc df , df \ 

 X d7 ( + Ijflf ) + Y "dy "(5 dx" + ^) 



t d / v df . v df \ d / v df . v df \ 



~£dx-( X dx+ Y -d7)-V d 7( x ^ + Y T y ) 



dx dy S dx 1 dy/ dx 



=( 



df_ 

 dy 



stått f irgend eine Losung 9 von A(f) = 0, so verschwindet nach 

 dem Vorangehenden die linke Seite. Es geniigen somit die L6- 

 sungen von 



A(f) = X^ + Y|- = 

 zugleich der Relation 



V X dx + Y "dy ~ 5 dx" - 71 ~dy7 dx" + l X dx + Y dy * dx ~ dy ) 



= 0, 



was wieder heisst, dass diese beiden Gleichungen aequivalent sind. 

 Es bestehen daher zwei Relationen der Form 



dx dy ? dx 1 dy 



X £ + Y?--* d /--V-] r - = XY, 



dx dy ? dx ' dy 



deren Inbegriff mit der Bedingungs-Gleichung (3) aequivalent ist. 



