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§ 2. 



Eine bekannte infinitesimale Transformation einer gewohnlichen 

 Differential-Gleichung I. 0. ist einem I nteg rab i I itåtsfaktor 



aequivalent. 



Soll die infinitesimale Transformation hx == f 8t, hy — rfit die 

 Gleichung Ydx — Xdy = in sich uberfiihren, so ist nach dem 

 Vorangehenden dazu nothwendigund hinreichend, dass die Gleichung 



(xyj-Ya) 4- dy(x-»|-Yg) ° 



besteht. Andererseits wissen wir, dass ein Integrabilitåtsfaktor M 

 derselben Gleichung durch 



dfMX) , d (MY) 



+ 



= 



dx dy 



bestimmt ist. Dies giebt unmittelbar folgendes Theorem. 



Satz 3. Fiihrt die infinitesimale Transformation hx = £5f, hy = r\ht 



die Gleichung Xdy — Ydx — in sich ilber,so ist x ^ 1 y ^ ein Inte- 



grabilitdtsf aktor. Umgekehrt : Kennt man einen Integrabilitåtsfaktor 

 M, und bestimmt man zivei solche Funktionen £ und 7), dass 



«til wS^m % : 



so gestattet unser e Differential-Gleichung die Transformation hx = 

 t~ht, hy = T\ht. 



Den ersten Theil dieses Satzes beweist man auch folgender- 

 maasen. Man multiplicire die beiden Determinanten 



dx 



X 



Y 





dcp 



d 9 l 







= A 



"dx~ 



dy 



i 



*) 









1 



nach der bekannten Regel mit einander 



dcp 



dx 



d 9 dcp 

 X dx +Y "d"v 



dx + ^ 



dcp 



dy" 



Lassen wir hier 9 eine Lbsung von 



A(f) = X-^ + Y-|?- = Q 



w dx 1 dy 



