248 



bezeichnen, so ist nach dem Satze 2 £ -— + to — - eine Funktion von 



3 dx 1 dy 



<p, etwa £2(9), und also kommt 



X..- ™-" 6 '' 89i " i ¥£2{<p) I f ' ! " ,3?9,8 ' ,B " ,,a ' ,:,1,<r J 



oder 



d© 



dx" Q(9) 

 Y ~ A " 



Hier ist die linke Seite der allgemeine Ausdruck eines Integrabili- 

 tatsfaktors von Ydx — Xdy = 0, und 0(9) ist ein Integral dieser 



Gleichung; also ist auch ~ ein Integrabilitåtsfaktor, was zu bewei- 

 sen war. 



Im Vorangehenden ist vorausgesetzt, dass A von Null verschieden 

 ist. Verschwindet dagegen A 



A = = Xtj - Y£, 

 so låsst sich keinen Vortheil aus der bekannten infinitesimalen 

 Transformation, welche alsdann die Form 



5x = [xXSt, hy = \Lfht 



besitzt, ziehen. Dies kann ubrigens nicht iiberraschen, insofern 

 Ydx — Xdy = eine jede infinitesimale Transformation dieser Form 

 zugiebt. Es sagt daher gar nichts, eine solche zu kennen. Dieser 

 Ausnahmfall tritt ein, wenn jede Integral-Curve in sich selbst trans- 

 formirt wird. 



Ich finde es zweckmassig diesen bemerkenswerthen Satz durch 

 mehrere moglichst einfache Beispiele zu illustriren. 



Ich betrachte zuerst die allgemeine homogene Differential- 



Gleichung 1. 0, die ich vorlaiifig hinsichtlich aufgelost denke 



Ziehe ich jetzt eine Geråde durch Origo und construire zu jeder 

 Integralcurve die Tangente in ihrem Schnittpunkte mit dieser Ge- 

 råde, so sind alle diese Tangenten parallel. Hieraus liesse sich 



