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_/xd x 

 8x = 0, Sy — e St, 

 welche Gleichung (4) in sich transformirt. 

 terminante 



1 



Nun reducirt die De- 







Xy + X' 



_/xdx 



sich auf e 



/Xdx 



und also wird die linear e Gleichung -^- + Xy+X' 



Xdx 



= dur cl% MuUiplication mit e u ein vollstdndiges Biffer ential. 



Sei endlich die bekannte Transformation eine infinitesimale 

 Rotation um Origo 



Sx = ySt, Sy = — xSt. 

 Alsdann ist die Determinante gleich Xx + Yy, woraus folgt, dass 

 eine jede Biffer ential- Gleichung Ydx — Xdy — 0, welche eine infi- 

 nitesimale Rotation um Origo gestattet, durch Bivision mit Xx Yy 

 ein vollstdndiges Biffer ential wird. Dies er Satz erlaubt beispiels- 

 weise die Krummungslinien einer Schraubenfiåcke zu bestimmen. 

 Wåhlen wir nåhmlich die Schraubenaxe als z-Axe und schreiben 

 die Gleichung der Flåene in der Form 



z = f(x y), 



so definirt die bekannte Differential-Gleichung der Krummungslinien 

 [p qt - (1 + q*) s] {^J + [(1 + P 2) t - (1 + q*) r] + 



[(l+p 2 )s-pqr] = 

 die Projectionen dieser Curven auf einer zur Schraubenaxe senk- 

 rechten Ebene. Nun fiihren wir eine infinitesimale Schrauben-Be- 

 wegung aus, welche die Flåene in sich verschiebt. Hierbei werden 

 die Krummungslinien und also auch die Projectionen derselben unter 

 sich vertauscht, und zwar werden die Projectionen durch eine in- 

 finitesimale Rotation transformirt. Bringen wir daher die oben- 

 stehende Differential-Gleichung auf die Form Ydx — Xdy = 0, so ist 



Xx+ Xy 



ein Integrabilitåtsf aktor. 



i 



