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chen-Raum bekanntlich gleich Xy — Yf, d. h. gleich dem inversen 

 Integrabilitåtsfaktor ist. Zuweilen ist es noch bequemer anstått 

 des Parallelograms die aequivalente Rectangel zu betrachten, deren 

 Seiten bez. |/~X 2 -f- Y 2 und die Normal-Verschiebung A N sind. Also 



Sats 4. Ber Integrabilitåtsfaktor einer Gleichung Xdy — Ydx 

 = ist gleich der Einheit, dividirt mit einer Rectangel, deren eine 

 Beite |/X 2 + Y 2 ist, ivåhrend die ander e mit der Normal-Bistanz 

 im PunHe x y zwischen der hindurchgehenden Integralcurve und 

 einer benachbarten proportionel ist, 



Sind z. B. die Integralcurven Parallelecurven, so ist die Nor- 



i 



mal-Distanz constant, und der Integrabilitåtsfaktor gleich ]/"X 2 +Y 2 . 



Um eine Anwendung der gefundenen Interpretation zu geben 

 setøe ich voraus, dass eine Differential- Gleichung 



Ydx - Xdy = 



vorgelegt ist, deren Integralcurven zusammen mit den orthogonalen 

 Trajectorien die xy-Ebene in infinitesimale Quadrate zerlegen. 



Es ist also moglich die Ebene in der Weise mit consecutiven 

 Integralcurven und Trajectorien zu bedecken, dass fik einen beliebig 

 gewåhlten Punkt die Normal-Distanz zweier benachbarten Integral- 

 curven ebenso gross wie die Normal-Distanz zwischen den beiden 

 benachbarten Trajectorien ist Setzt man daher die Differential- 

 Gleichurg der Trajectorien in der Form 



Xdx + Ydy = 0, 



so haben unsere beiden Differential-Gleichungen einen gemeinsamen 

 Integrabilitåtsfaktor M, der sich leicht finden låsst. M genugt 

 nåmlich den beiden Gleichungen 



d(MX) , d(MY) _ d(MY) d(MX) ft 



dx "t" dy U ' dx dy ~ U 



oder 



dx dy \^dx 1 dy J 



dx dy ^dx dy J 



