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woraus 



Y /dX , dY\ , Y /dY dX\ 



— . logM= + ,> 



dx ' 8 1 X- + Y^ 



V /^X , dY J _ v /dY _ dX J 



J_ ipgM- Mdx dyf ^ 



dy " 8 X 1 + Y 2 



und durch Integration 



rY / dX i dY i _j_ V / dY dX 



log M = / W+ f' + + Y f "x + 



v / dX , dY k v /dY dX k 

 r Y ldx" + ^~ X <dx"~^y/ , 

 J X 2 + Y' ^ 



Hiermit ist ein Integrabilitåtsfaktor gefunden. 



Weiss man also a priori, dass die Integralcurven der Gleichung 

 Ydx — Xdy = isotherme Curven in der xy-Ebene sind, so findet 

 man einen Integrabilitåtsfaktor vermoge einer Qvadratur ; eine zweite 

 Quadratur giebt die isotherme Curven- Schaar selbst. 



Sind zwei Differential-Gleichungen 



Xdy — Ydx = 0, X'dy--Y'dx=0 

 vorgelegt, die zwei Integrabilitåtsf aktoren besitzen, deren Verhålt- 

 niss eine bekannte Funktion von x und y 



^- = 9(xy) 



ist, zo verlangt die Bestimmung von M oder M' nur eine Qvadratur. 

 Es geiten nåmlich die beiden Relationen. 



d(MX) , d(MY) _ n d(Mc?.X') d(M 9 .Y') _ 

 dx dy ~~ U ' dx dy ~ °» 



welche die Differential-Quotienten von log M hinsichtlich x und 

 y bestimmen. Eine jede der vorgelegten Gleichungen låsst sich 

 daher durch zwei Quadraturen erledigen. 



Diese Bemerkung erlaubt, wie ich nicht nåher ausfiihren brau- 



