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Låsst man jetzt f irgend eine gemeinsame Losung /Ides voll- 

 ståndigen Systems sein, so ist nach dem Vorangehenden auch 



B(n") = 2r k — eine Losung, und also verschwindet die linke Seite 



dx k 



in Gleichung (1); jede Losung des vollståndigen Systems geniigt 

 daher der Gleichung 



k } llf + 4- k' = 



K, -f . . . . -f K n ^ U, 



was wieder heisst, dass eine Relation der Form 



ra — n . 1f ■ 



^ i m -~- = a, A t f + . . . + a| A r f = A, (B (f)) - B (A, (f)) 



m — 1 m 



besteht, wo alle a Funktionen der x sind. 



Umgekelirt: findet fur alle Werthe von i eine solche Relation 

 stått, so fuhrt unsere infinitesimale Transformation såmmtliche Los- 

 ungen in eben solche tiber. Denn die obenstehende Gleichung 

 giebt, wenn stått f eine beliebige Losung // gesetzt wird, 



Ai (B (il)) = 0, 



und also ist B (IT) selbst eine Losung, wie behauptet wurde. Dies 

 giebt 



Theorem L Soll die infinitesimale Transformation hx h = t k H 

 såmmtliche Losung en des vollståndigen Systems 



E! * = 1 • • SSmi 



in ebensolche uberfiihren, so ist, ivenn ivir der Kiirze tregen setzcn 



dam nothwendig und hinreichend, dass r Belationen der Form 



Ai (B (f)) — B (A; (f)) =V Aj" f . . . +<A r f 



bestehen. Hier sind alle ol gewisse Funktionen der x. 



Eine jede der r gefundenen Gleichungen lost sich in n solche 



auf, indem die Coefficienten der Crossen ^- links und rechts iden- 



dx k 



tisch sein mussen. Eigentlich giebt es daher r.n Bedingungs- 

 Gleichungen der Form 



Vid.-Selsk. Forh. 1874. 17 



