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A; (B k (f)) - B k (A; (f)) = a; k A, f + . . . + a| k A r = (Aj B k ) (4) 

 bestehen. Ich zeige in diesem Paragrapke, dass die Aufgabe, den 

 grosstmoglichen Nutzen aus diesen bekannten Transformationen zu 

 ziehen, sich auf den Fall reduciren låsst, dass zvvischen den B k f 

 Relationen der Form 



(BiB k ) =2bB + -aA, 



bestehen, wo die b Constanten sind. Dem Studium dieses speci- 

 ellen Falles, der genau mit der Theorie der Transformations-Grup- 

 pen zusammenhångt, sind die folgenden Paragraphen gewidmet. 

 Setzt man in der beriihmten Jacobischen Identitåt 



(A; (B k B k «)) + (B k (B k . Ai)) + (B r (Ai B k )) = 0, 

 die in allen Untersuchungen, deren Gegenstand infinitesimale Trans- 

 formationen sind, eine Haupt-Rolle spielt, die obenstehenden Werthe 

 der Grossen (AiB k ) und (AjB k -) ein, so erkennt man, dass auch 

 (A, (B k B k ^)) sich linear durch die A ausdriickt. Unser vollstandiges 

 System gestattet daher die infinitesimale Transformation, deren 

 Symbol 



ist, wo 



m = n 



m = l m dx, n m dx m " 



Diese Bemerkung, die nur hinsichtlich der Form neu ist, erlaubt 



aus gegebenen inf. Transformationen eines vollstandigen Systems 



neue solche herzuleiten. 



Dagegen ist der folgende wichtige Satz neu: 

 Thor em II. Gestattet das vollstdnclige System 

 k x f = A r f = 



die inf. Transformationen B x f . . . B q f und bestehen zwischen den 



FunJctionen A und B m lineare BeJationen 



2 a A + - b 13 = 0, 



in denen die a und b FunJctionen der x sind, so findet man folgen- 



dermaasen eine Anzahl Losungen des vollstandigen Systems. Man 



lost hinsichtlich m Grossen B etwaB 1 . . . B m auf (dies ist immer 



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