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verfahren muss, um den grosstmoglichen Vortheil aus bekannten 

 infinitesimalen Transformationen zuziehen. Hierbei mache ich mich 

 freilich in einigen Wiederholungen schuldig. 



I. 



Ist unser vollstandige System zweigliedrig 



A,(0 = X, f+Y, = 



so bildet man, wenn eine infinitesimale Transformation desselben 



gegeben ist, die Determinante 



X, Y, Z, 



/ = X 2 Y 2 Z 2 



alsdann ist ^ ein Multiplicator des vollstandigen Systems und gleich- 

 zeitig (§ 3, Schluss) ein Integrabilitatsfaktor der totalen Gleichung 

 (Yi Z 2 - Y 2 ZJ dx + (Z, X 2 - Z 2 X x ) dy + (X x Y 2 - X 2 YJ dz = 0, 

 dessen Integral 



n - ^ [(Y, Z 2 -Y 2 ZJ dx + (Z, X 2 -Z 2 XJ dy + (X, Y 2 - X, ; Y x ) dz] 



eben die gesuchte Losung des vollstandigen Systems ist. 



Sind zwei infinitesimale Transformationen B 1 (f), B 2 (f) gegeben, 

 so existirt notliwendigerweise eine lineare Relation zwischen den 

 A und B, die man immer aufstellen kann 



\ A l -f- a 2 A 2 + (J-! B x + ^ 2 B 2 = 0, 



wo die X und fi nur von x y z abhången ; alsdann ist (Theorem 2) 



das Verhåltniss ^ , insofern es keine Constante ist, die gesuchte 



Losung, die sicli somit in diesem Falle olme Integration finden 

 låsst. — lm Uebrigen konnte man auch vermoge jeder inf. Trans- 

 formation einen Integrabilitatsfaktor bilden; dann ware das Ver- 

 lialtniss der beiden Integrabilitatsfaktoren eine Losung; es hat 



