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keine lineare Relation zwischen A und den B besteht. Man bildet den 

 Ausdruck (B x B 2 ), der sich nothwendigerweise linear durch A B t B 2 

 ausdriickt 



(B l B 2 ) = XA + l i 1 B l f [J- 2 B 2 =B 3 . 

 Hier sind ^ und [j. 2 (Theor. 2.), wenn sie keine Constanten sind, 

 Losungen von A(f) = 0. Findet man hierdurch oder durch Bildung 

 der Ausdriicke (B X B 3 ) (B 2 B 3 ) zwei verschiedene Losungen, so ist 

 das Integrations-Geschåft abgeschlossen. Findet man nureineLos- 



ung, so bildet man vermoge B t (f) und B 2 (f) den Multiplicator -~\ 



alsdann verlangt die Bestimmung eineren weiteren Losung, wie Ja- 

 cobi gezeigt hat, nur eine Quadratur. Sind endlich ^ und ^ 2 Con- 

 stanten, so giebt es keine Losung, die sich ohne Integration auf- 

 stellen lasst. Dann verfåhrt man verschieden, jenachdem pi, und \i 2 

 beide gleich Null sind, oder jedenfalls die eine von Null ver- 

 schieden ist. 



a) Sind ^ und [x 2 beide gleich Null, so ist 



A(f) = 0, B^O^O 

 ein vollstandiges System mit einer bekannten infinitesimalen Trans- 

 formation B 2 (f); die gemeinsame Losung ist 



n i = f^ KZ^-YQ dx-f ]. 



Ebenso ist 



A(f) = 0, B 8 (f) = 

 ein vollstandiges System mit der infinitesimalen Transformation B^f) ; 

 die gemeinsame Losung ist 



n 2 = J_L[(Y£ 1 -Z^ 1 )dx + . . .]. 



Hiermit sind zwei Losungen von A (f) = gefunden und zwar ver- 

 moge zwei distinkten Quadraturen. 



b) Sei jetzt jedenfalls die eine \). etwa \k 2 von Null verschieden, 

 alsdann setze ich 



^ B 1 f-f-[J- 2 B 2 f=Bf 

 und ersetze die beiden infinitesimalen Transformationen B, und B 2 

 durch B und B r Man findet 



(BB^-^Bf. 



