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Folglich ist 



A (f) = 0, B (f) = 

 ein vollståndiges System mit einer bekannten inf. Transformation BJ ; 

 also findet man die gemeinsame Losung n t vermoge einer Qua- 

 dratur. Fiihrt man darnach x, y, II als neue Variabeln ein, so 

 erhålt man stått A(f) = eine aequivalente Gleichung 



A'(f) = X'Æ + Y'^L===Q 



v J dx dy 



mit einer bekannten infinitesimalen Transformation B'(f), und also 

 findet man eine neue Losung TI vermoge einer zweiten Quadratur. 

 Zu bemerken ist, dass es in diesem Falle nur eine Losung giebt, 

 die sich durch eine Quadratur bestimmen låsst. 



IV. 



Kennt man zwei infinitesimale Transformationen B x (f) und B 2 (f) 

 von A(f) = 0, und besteht dabei eine lineare Kelation 



aA + Px B x + {5 2 B 2 = 0, 

 so ist ? R l eine Losung. 1 Ich bilde den Ausdruck (B t B 2 ), der sich 



immer linear durch A(f) und B t (f) ausdriicken lasst 

 (B, B 2 ) == 5 Bj (f) + sA(f). 



Ist hier 8 keine Constante oder Funktion von ~-, so hat man hiermit 



eine zweite Losung, womit Alles fertig ist. Im entgegengesetzten 



Falle muss man x y | ] l ~ = w als neue Variabeln einfuhren. Hier- 



P2 



durch nimmt A(f) = die Form 



A'(f) = X'-^+Y'jtf 



dx dy 



1 Ich beriicksichtige nicht den Fall, dass eine Constante ist; alsdann machen 



unsere beiden Transformation en zusaminen keinen grosseren Nutzen als die eine; 

 in der That ist C(f) eine inf. Transformation von A (f) ~ 0, so fiihrt jede Trans- 

 formation der Form 



yC(f) + wÅ(f) 



wo y irgend eine Constante und w irgend eine Funktionen von x y z bezeichnet, 

 die Gleichung A (f) = in sich fiber. 



