Discussion aller Integrations-Methoden der 

 partielten Differential-Gleichungen I. 0. 



von 

 Sophus Lie. 



Pfaff zeigte bekanntlich zuerst, dass man eine jede partielle 

 Differential-Gleichung 1. 0. 



F(x x . . . . x n Pi . . . . pJ^O 1 ) 

 vermoge successiver simultaner Systeme gewohnlicher Differential- 

 Gleichungen, deren såmmtliche Integrale bestimmt werden, inte- 

 griren kann. Gauchy fand, dass nur das erste Pfaffsche System 

 integrirt werden braucht. Jacobi gelang es, die schone Lag rang esche 

 Theorie der Gleichung 



F (z x y p q) = 



auf beliebig viele Variabeln auszudehnen. Diese Jacobische Me- 

 thode braucht eine grossere Anzahl Integrations-Operationenjedoch 

 vom niedrigeren Grade als die Cauchysche, die hinsichtlich der 

 Einfachkeit der zu Grunde liegenden Principien alle ånderen Me- 

 thoden iiberragt; ausserdem verlangt die Jacobische Methodc, im 

 Gegensatze zu der Cauchyschen, eine grosse Anzahl Eliminations- 

 Operationen. Wenn nichtsdestoweniger alle Mathematiker darin 

 ubereinstimmen scheinen, die Jacobische Methode als einen wesent- 

 lichen Fortschritt zu betrachten, so liegt das darin, dass man einen 

 bestimmten, theilweisQ allerdings wilkiirlichen Maasstab festgestellt 



') Icli brauchc die Buchstabcn x, . . . x„ p, . . . pn in derselhcn Bedeutung, wie 

 x . . . . x„ TUo • • • • tc„ in mainer Abhandlung : Allgemcinc Theorie partieller 

 Differential-Gleichungen l. O. 1874. Die j>. Bind daher im Allgemeinen Ver- 

 hftltnisB-QtOssen. Eine Funktion von x, . . . x n pi . . . i>i«, die hinsichtlich der 

 I» homogen von b* 8 ' Ordnung ist, nenne icli knrzweg eine Funktion s |er Qrdnung, 



