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hat. Man pflegt nåmlich bei der Beurth^ilung einer Integrations- 

 Theorie von den sogenannten ausfiihrbaren Operationen, d. h. Eli- 

 rainationen, Differentiationen, Quadraturen wegzusehen und nur auf 

 die erforderlichen Integrationen Riicksicht zn nehmen. Man be- 

 trachtet die Bestimmnng eines Integrals eines simultanen Systems 

 von m gewohnlichen Differential-Gleichungen als eine El ementar- Ope- 

 ration, die eine Operation m heissen mag. Und zwar pflegt man 

 eine Operation m fiir schwieriger als beliebig viele Operationen 

 m — 1 anzusehen. Doch geniigt es im Folgenden eine Operation 

 2q fiir schwieriger als die Operationen 



2q-l, 2q-3, .... 3, 1 

 zu rechnen (und sogar diese Forderung liesse sich -wesentlich re- 

 duciren). 



In 1864 zeigte Weiler, dass mehrere Integrations-Operationen, 

 die bei der Jacobischen Methode verlangt werden, unnothig sind. 

 Im Friihlinge 1872 veroffentlichte Maijer ein merkwiirdiges Theorem 

 — das sogenannte Mayersche Theorem — welches ihm erlaubte 

 eine noch grossere Reduction zu erreichen. Gleichzeitig entwickelte 

 ich eine neue Methode, die hinsichtlich der Zahl und der Ordnung 

 der nothwendigen Operationen mit der Mayerschen stimmt. Und 

 endlich lehrte ich in 1873 verschiedene Umstånde, die bei der Inte- 

 gra tion einer partiellen Differential-Gleichung 1. 0. sehr haiifig ein- 

 treten, zur Erniedrigung des zuriickstehenden Integrations-Geschåfts 

 zu verwerthen. 



Des Uebersichts wegen stelle ich die Anzahl und die Ordnungen 

 aller Integrations-Operationen, die nach den verschiedenen Metho- 

 den verlangt werden, in einigen Schema zuzaminen. 



Die Pfaffsche Methode. 



2n — 3 

 2n— 4 



2n - 5 2n — 5 

 2n — 6 2n— 6 

 2n — 7 2n— 7 



2n 



3 3 



2 2 



1 1 1 



Vid.-Selsk. Forh. 1875. 



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