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(X k P lf XJ und j^.XJ 



d. h. die Funktionen 



Losungen; folglich ist die allgemeinste Funktion nullter Ordimng 

 der Gruppe, die sich ja als Funktion von 



A i • • • • A a p 2 ' ' * • 



ausdriicken låsst, eine Losung. 



Satz 9. Gcstattet ein vollståndiges Systtm zicischcn x % . . -. p a 

 alle inf. Trans format ionen der Fonn H(X l . . . X a P l . . . P^), und 



ist dabei eine geicdhnliche (d. h. nicht-ausgezeichnete) Funktion 1. 0. 

 der Gruppe X x . . . X a P x . . . P^, etiva P A eine Losung, so sind 



alle Funktionen der Gruppe Losungen. 



Denn unser vollståndige System gestattet alle inf. Transforma- 

 tionen der beiden Formen 



X t P k und X; X t P 1 (k = 1 . . . p, i = 1 . . . . a) 

 also sind die Ausdriicke 



(X, P^P,) und (X.X^XJ 

 d. h. die* Funktionen 



P k und X; P l 



Losungen, folglich auch alle Funktion Xj und P k der Gruppe; was 

 zu beweisen war. 



Satz 10. Besitzt ein vollståndiges System eine Losung der Form 

 ucp(v), wo 9 eine arbitrare Funktion bezeichnet, so sind u und v 

 selbst Losungen. 



Denn zwei Losungen der Form U9 1 (v) und u<p 2 (v) geben durch 

 Division eine Losung der Form Q(v). 



Satz 11. Besitzt ein vollståndiges System, das alle inf. Trans- 

 formationen der Form 9 (X;) Pj gestattet, eine Losung der Form 

 F(X a . . . X g ), so sind alle in F enthaltenen X Losungen. 



Denn nach Satz 1 ist die Grosse 



(F, 9 (Xa)Pa) 



d. h. 



