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friedigen jedenfalls X b . . . X g das System S r Also ist z t entweder 

 gleich t oder gleich t — 1. — In beiden Fallen sind såmmtliche 

 FunktionenX, die S t geniigen, zugleich Losungen von (X t P^f) = 0, 

 also auch von S 2 . Folglich ist t 2 immer gleich t v — Seien jetzt 

 X a < X b ' . . . X g « die t 2 Losungen von S 2 , die die Form F(Xj . . . X q ) 

 besitzen. Ist keine derZahlen a 1 . . . g 1 gleich 2, so befriedigen 

 jene t 2 Grossen zugleich (P 2 f)==o und sind daher Losungen von 

 S 3 . Ist dagegen etwa a' gleich 2, so befriedigen jedenfalls X b < . . . X g - 

 das System S 3 . Also ist t 3 entweder gleich x 2 oder gleich t 3 — 1. — 

 In dieser Weise låsst sich successiv einsehen, dass unser Satz fur 

 alle Systeme S k richtig ist. 



Satz 16. Bie Zahl p k ist entweder gleich p k _i oder gleich p k _i — 1. 



Sind die beiden Systeme S k und S k _i aequivalent, in dem Sinne, 

 dass sie dieselben Losungen besitzen 



+ Pk = Tk-i + pk— i 

 und also auch dieselben Losungen der Form F (X t . . . . X q ) 



T k = 



so ist p k gleich p k _j. Hat dagegen S k eine Losung weniger als S k _i 



+ Pk== : T k _i + Pk-I— 1 



so ist, danach dem vorangehenden Satze T k gleich t u _i oder t u _i — 1 

 ist, p k gleich p k _i oder p k _i— 1. 



Satz 17. Ist die Zahl p grosser als Null, so giebt es jedenfalls 

 eine Zahl p k , die gleich 1 ist. 



Denn in der abnehmenden Zahlen-Reihe p p, ... p2„ ist die 

 erste Zahl grosser als Null, die letzte gleich Null, da die Gleich- 

 ungen 



(P, f) = 0, (X, P„ f) = . . . (P n f) = (X n P n , f) = 



keine gemeinsame Losung haben, und die Differenz zweier succes- 

 siver Zahlen hochstens gleich 1. 



Satz 18. Gestattet ein vollstandiges System mit den Losungen 

 X, . X q n, wo // keine Funktion von X 1 . . . X q ist, die infini- 

 tesimale Transformation 9X r .P,, wo 9 eine arbitriire Funktion von 

 X r und r grosser als q ist, so sind zwei Falle denkbar. Entweder 

 ist // gleich X, oder auch verschwinden, wenn man I f als Funktion 



