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In diesem Paragraphe untersuchen wir alle vollståndige Systeme, 

 die zu einer vorgelegten Gruppe und gewissen Funktionen derselben 

 in invarianter Beziehung stehen. 



Satz 19. Ist ein vollstdndiges System zwischen x t . . .p n invariant 

 mit q Funktionen nullter Ordnung X l . . . X q , die paarweise in 

 Involution Hegen, verbunden, so sind alle Funktionen nullter Ord- 

 nung von X t . . . X q 's Polargruppe Losungen, ivenn nicht zufålli- 

 gerweise einige der Grossen X x . . . X q allein ein System Los- 

 ungen bilden. 



Fuhren wir neue canonische Variabel n X, . . . X„ Pj . . . P„ 

 ein, so ist 



H = l* k X k .P k + H 1 (X 1 . . . X n P q + 1 . . . P n ) 

 i 



die allgemeinste infinitesimale Transformation, die eine jede der 

 Grossen X t . . . X q invariant låsst. Die gesuchten vollståndigen Sy- 

 steme mussen daher eine jede Transformation dieser Form gestatten. 



Sind nun alle Losungen Funktionen von X x . . . X q , so (Satz 11) 

 bilden einige dieser Grossen ein System Losungen. 



Giebt es dagegen Losungen, die keine Funktionen von Xj . . . X q 

 sind, so fugen wir nach den Entwickelungen des vorangehenden 

 Satzes zu den Gleichungen des vollståndigen Systems 



AJ — . . . A r f = (x t . . , p n ) 

 successiv so viele der Gleichungen 



(Pi^^O . . . (X n P B( f) = 

 hinzu, dass wir ein Gleichungs-System entweder der Form 



A t f — . . . A r f= 0,(^^ = . . . (P k f)==0 

 oder der Form 



A å f = . . . A r f =0(P 1 f) =0 . . . (X k P k f)==0 

 erlialten, welches eine und nur eine Losung 77 besitzt, die keine 

 Funktion von X, . . . X q ist. Das hierdurch gefundene vollståndige 

 System gcstattet alle inf. Transformationen der Form 



9 X q + P, + i ; 



also muss nach dem vorangehenden Satze entweder II gleich einer 

 der Grossen X, + i . . . X„ sein, und dann sind alle Funktionen 

 nullter Dimension von X, . . . X q \s Polargruppe Losungen der 



