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Funhtionen nullter Ordnung der Gruppe oder alle derartige Funh- 

 tionen der Polargruppe Losungen, ivenn nicht entweder alle ausge- 

 zeichnete Funhtionen X l . . . X, . . . X q - oder auch einige der 

 Grossen X t . . . X q ein System Losungen bilden. 



Fuhren wir neue canonische Variabeln Xj ... X„ P t ..." P. 

 ein, so ist (Satz 5) 



(a) H = l$ k X k .P k + %n k (K, . . . X q .)P«< + Hi (X t . ; . -i X q « 



1 q+1 



P q ' +1 . . . P v 0H-H 2 (X, . . . X r X q « + 1 . . . X n P <+1 . . . P n ) 

 die allgemeinste infinitesimale Transformation, welche die vorge- 

 legte Gruppe in sich uberfiihrt und die Grossen Xt . . . X q inva- 

 riant lasst. 



Sind nun alle Losungen Funktionen von X t . . . X q , so bilden 

 (Satz 11) einige dieser Grossen ein System Losungen. 



Sind dagegen alle Losungen Funktionen von Xi . . X, . . X q -, 

 so nehme ich eine, in deren analytischen Ausdrucke 



J2 (X, . . . X q . . . X ? . . . X,.) 

 jedenfalls eine der Grossen X q + 1 . . . X q - etwa X vorkommt, und 



r 



ftihre auf sie die inf. Transformation Q(Xx . . . X q <) P aus. Die 

 hierdurch erhaltene Funktion 



befriedigt die Ajf = 0. Also (Satz 10) sind alle Grossen X, . . . 

 X q . . . X q < Losungen. 



Giebt es endlich Losungen, die sich nicht als Funktionen von 

 X t . . . X q ausdriicken lassen, so fugen wir zu den A, f = suc- 

 cessiv so viele der Gleichuugen 



(P.f) = (X„ P„,f) = 



hinzu, dass wir ein Gleichungs-System entweder der Form 

 A, f = ... . A r f ass 0, (P, f) = . . . . (P t f) = 

 oder der Form 



A, f = . . . . A r f=o, (P,f) = . . . .(X k P k ,f) = 

 erhalten, welches eine und nur eine Losung TI besitzt, die keine 

 Funktion von X t . . . . X, ist. Das hierdurch gefundene vollstån- 



