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eine Losung ist. Nun giebt es nach unserer Voraussetzung Los- 



ungen der Form * 



F(X 1 ...X q ...X q .P q » + 1 ) 

 die P q - + i wirklich enthalten; also ist auch P q «+ i eine Losung. 



Giebt es endlich Losungen, die sich nicht als Funktionen von 

 Xi . . . X q < P q << + i ausdrucken lassen, so fiigen wir zu den A ; f = 

 successiv soviele der Gleichungen 



(^f) = 0, (X, P t f) = . . . (X„ P n , f) = 



hinzu, dass wir ein Gleichungs-System der Form 



J A t f = . . . A r f = 0, (P,f) = 0... (P k f) = 

 oder der Form 



A, f = ... A r f=0, (P, f) = ... (X k P k f) = 

 erhalten, welches eine und nur eine Losung IT besitzt, die keine 

 Funktion von X x . . . X q - P q » + i ist. Das gefundene Gleichungs- 

 System gestattet alle inf. Transformationen der Form 



9 x q . + i . p q +i , q" + i. 



Daher sind nur zwei Falle denkbar. Entweder ist 77 gleich 

 einer der Grossen X q - + i ... X,- X q « + 2 ... X,i , und dann schliesst 

 man, wie gewohnlich, dass die Funktionen nullter Ordnung der vor- 

 gelegten Gruppe oder ihrer Polargruppe Losungen sind. Oder auch 

 verschwinden die Differential-Quotienten von Tl hinsichtlich der 

 Grossen 



X.+, ... X q «X q «+ 2 ... X n P s +1 ... P,«P,-+2 ... Pn 



wo s die grosste der beiden Zahlen q' und k ist. II besitzt dann 

 die Form 



IT (X, ... X s X q « + 1 P, ... P s P q « + 1 ). 

 Kommt hier eine der Grossen P A . . . P s etwa P a wirklich vor, so 

 fuhren wir auf II die inf. Transformation 



X a . 9 (X m ) P m 



aus, und erkennen dadurch dass X m , die entweder der Gruppe oder 

 der Polargruppe angehort, eine Losung ist. Hieraus folgt wie ge- 

 wohnlich, dass die Funktionen nullter Ordnung der betretfenden 

 Gruppe Losungen sind. — Besitzt dagegen II die Form 



n(x, ... x s p q « + 1 ) 



so muss nach unserer Voraussetzung, dass II keine Funktion von 



