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tionen des Involutions-Systems in Involution liegen. Konnte man 

 nun ein solches Problem vermoge ausfiihrbarer Operationen absol- 

 viren, so håtte man eo ipso eine allgemeine Integrations-Methode 

 der partiellen Differential-GIeichungen 1.0. zwischen n — q— q' + 1 

 Variabeln. Dies steht aber, wenn n grosser als q + q' ist, im 

 Wiederspruche mit dem in der Einleitung aufgestellten Axiom. 



Satz 25. Bei der gesuchten einfachsten Integrations-Methode des 

 Involutions-Systems X 1 = a x .... X q = a q muss die er ste Integra- 

 tions- Operation in der Bestimmung einer Losung des vollstdndigen 

 Systems 



(X 1 N) = .... (X q N) = 0, V d p- = 



bestehen. 



Das erste vollståndige System soll zu X x . . . X q in invarianter 

 Beziehung stehen. Nun giebt es zwei Categorien derartiger Sy- 

 steme. Ein System der ersten Categorie hat keine andere Los- 

 ungen als einige der Grossen X x . . . X q und kommt daher garnicht 

 in Betracht, insofern seine Integration eine ausfiihrbare Operation 

 ist. Ein System der zweiten Categorie wird von den 2n-q— 1 

 Funktionen nullter Ordnung vonX 1 ... X q 's Polargruppe befriedigt. 

 Håtte das gesuchte vollståndige System noch weitere Losungen 

 als jene 2n — q — 1, so wåre die Bestimmung einer von X x ... X q 

 unabhångigen Losung eine Operation von hoherer Ordnung als 

 2n— 2q— 1. Wir kennen aber eine Integrations-Methode des In- 

 volutions-Systems Xj = a x X q --=a q , die nur die Operationen 



2n— 2q— 1, 2n— 2q— 3 ... 3, 1 



verlangt. Also darf das erste vollståndige System keine weitere 

 Losungen als die Funktionen nullter Ordnung von X x . . . X q 's Po- 

 largruppe besitzen. 



Satz 26. Soll das Involutions-Systcm X x = a 1 . . . . X q = a,, in 

 cinfachstcr Weise integrirt tverden, nacJidem man q' — q Funktionen 

 X t/ -f , . . . . X q < ge fund en hat, die soivohl paar weise tvie mit X x . . . X q 

 in Involution Hegen, so muss der ndchste Schritt in der Bestim- 

 mung einer Losung des vollstdndigen Systems 



