•2 



ELLING HOLST. 



[No. 15. 



Fællestangent — rører den faste i Q, den variable i P". Da 

 er Forholdet 



P"0 



= en Konstant. 



Svindei- den variable Cirkel ind til Punktet P, saa haves 

 Lemma L Beviset for Lemma II kan fores ganske elementært. 



Ved sukcessive at anvende disse Lemmata paa den Ptole- 

 mæiske Læresætning, erholder man en Suite Sætninger af ganske 

 lignende Form som denne, men af et langt almindeligere Indhold. 



Naar man ved A,B.C.D betegner 4 Punkter paa en Cirkel. 

 ved (A). (B), (C), (D) 4 vilkaarlige i disse Punkter berørende 

 Cirkler. ved AB som sædvanlig Afstanden mellem A og B, ved 

 A(B) Længden af Tangenten fra A til (B), ved (A)(B) Læng- 

 den efter Omstændighederne af den ydre eller indre Fælles- 

 tangent fra (A) til (B), faaes saaledes ved blot i Udgangsformlen : 



AB . CD ± BC . AD ± CA .BJ) = () 

 at indcirkle et Bogstav ad Gangen: 



1. {A)B .CD+BC. (A)D ± C(A) .BD = 0. 



2. (A)(B) . CD ± (B)C.{A)D ± C(A) . (B)D = 0. 

 Fællestangenten (A)(B) er j^dre eller mellemliggende. efter- 



som (A)'s og (B) f s Berøring med den faste Cirkel er ens eller uens. 



3. (A)(B) .(C)D±: (B)(C) . (A)D ± (C){A) . (B)D = 0. 

 Denne Sætning er særlig mærkelig ved sin Sammenhæng 



med det Apolloniske Berøringsproblem. Af de tre Fællestan- 

 genter maa nødvendigvis enten alle tre være ydre eller de to 

 være mellemliggende og den tredie ydre. Man faar da ved at 

 opfatte D som et løbende Punkt P, (A), (B), (C) som tre givne 

 Cirkler, følgende mærkelige geometriske Steder: 



Det geometriske Sted for et løbende Punkt P, hvis Tangenter 

 til tre faste Cirkler fyldestgjør Betingelsen: 

 3a) (A) y (B) . (C)P± (B) y (C) . (A)P± (C) Y (A) • (B)P = 

 er de to Apolloniske Cirkler, der berøre alle tre 

 givne ens. 



Det geometriske Sted for et løbende Punkt P, hvis Tangenter 

 til tre faste Cirkler tilfredsstiller Betingelsen: 

 3b) (A) Y (B) . (C)P ± (BXC) . {A)P± (Qi(4) . (B)P = 



