SOPHUS LIE. 



[No. 21. 



Sind yi {0) . . .«/ n (0) ein specielles Losungssystem und 



(A) 



2/k (1) =C k iyi<°>+...+Cknyn (0) 



(*«=l!..n) 



das allgemeinste, so sind die Constanten c k i dadurch bestimmt, dass 

 das Gleichungssystem F k = die linearen homogenen Transforma- 

 tionen ^/ k (1) = 2 c ki yi° gestattet, worin liegt, dass alle diese Trans- 

 formationen eine Gruppe bilden. 



Das vorliegende Problem ist also ein specieller Fall des 

 folgenden, das wie ich in Matn. Ann. Bd. XXV ausdriicklich 

 hervorhob, unmittelbar durch meine allgemeine Integrationstheorie 

 von vollstandigen Systemen, mit einer bekannten Gruppe erledigt 

 wird: 



B) Ein System Differentialgleichungen ist vorgelegt, das 

 y\ . . .y n als Funktionen von x\ . . .a? a bestimmt. Ein allgemeinstes 

 Integralsystem yi {1) . . ,y n {1) mit r wesentlichen Parametern geht 

 aus einem speciellen Integralsysteme y\ {0 . . .y n (0 durch bekannte 

 Gleicnungen 



hervor. die eine Gruppe mit r wesentlichen Parametern bestimmen. 



Ein solches Problem verlangt somit nach meiner allgemeinen 

 Theorie eines vollstandigen Systems mit bekannten inf. Trans- 

 formationen zu ihrer Erledigung die Integration von gewissen 

 Hiilfsgleichungen, deren Anzahl, Ordnung und Beschaffenheit allein 

 von der Zusammensetzung der Gruppe (B) abhångt, also durch eine 

 algebraische Discussion bestimmt wird. Ist insbesondere diese 

 Gruppe einfach und enthalten dabei ilire grossten Untergruppen 

 o Parameter, so giebt es nur eine Hulfsgleichung von (r — p) ter 

 Ordnung. War insbesondere r — ? < 4, so war diese Hiilfs- 

 gleichung reductibel auf eine lineare Gleichung (r — p -f l) ter 

 Ordnung. War andererseits die Gruppe (B) isomorph mit der all- 

 gemeinen linearen homogenen Gruppe in a Variabeln, so hatte 

 man zwei Hiilfsgleichungen: eine lineare Differentialgleichung 

 a ter Ordnung und eine Qvadratur. 



Fur alle Falle, in denen die Zusammensetzung der Gruppe 



(B) 



2/^> = 9kG/i°...W 0) «r--*') 



