1886]. BEVIS roR at enhver algebraisk ligning har rod. 



5 



Hvorledes man nu end ved Hjælp af en kontinuerlig Kurve 

 forbinder Q med et af Punkterne Ai, maa, da ^{xy) er en hel 

 Funktion, enhver saadan Forbindelseskurve mindst etsteds inde- 

 holde et Punkt, hvor 



^{xy) = 



Da nu Q er et lobende Punkt paa Cirkelen om C, er hermed 

 bevist, at det geometriske Sted for de Punkter {x,y)j hvor 



^{xy) = 



beskriver et eller flere sluttede helt og holdent indenfor Cirkelen 

 om C beliggende Omleb, der begrænser et eller flere lukkede 

 Fladerum, tilsammen indeholdende samtlige Punkter Ai. 



Vi vil tænke os et saadant Fladerum, nemlig det, der f. Ex. 

 indeholder Aq. Det kan muligens indeholde desuden A^, A2 . . . A^i, 

 medens Resten af Punkterne kan ligge udenfor dets Kontur. 

 Alle Punkter paa det betragtede Fladerums Kontur tilfredsstiller 

 Modulbetingelsen (4). Et lobende Punkt af Konturen være F, 

 et fast Punkt af samme Po. De til Vectorradierne PAo, PAi . . . 

 PJlp svarende Argumenter, hvert regnet lig eller større end 

 og mindre end 2k, giver indsat i venstre Side af Formelen (5) 

 en variabel Sum = 'P', der i Po er lig Lader man nu P 



bevæge sig fra Po f. Ex. i Retning mod Uhrviseren Konturen 

 engang rundt, vil hver Vectorradie til et af de g + 1 indre 

 Punkter have foroget sit Argument med 2 ir, hver af de til de 

 ydre Punkter gaaende Vectorradier derimod efter en større eller 

 mindre Oscillation være vendt tilbage til Udgangsargumentet. 

 Efter fuldendt Omløb er saaledes voxet fra ^0' til 



^^o' + (»>«o + w^l 4- . . . + mq) 27:. 



Hvilken Værdi end 'Po' og den i (5) givne Argumentværdi 

 har, gives der saaledes paa den gjennemløbne Kontur 



m + nil + . . . + 

 Punkter, hvor for passende hel Værdi af Tc 



= (p 4- 2Jcjz 



o: hvor ogsaa Argumentbetingelsen (5) er fyldestgjort. 



