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ich mir von Ihnen doch die Erlaubnis erbitten, als Gegenleistung 

 für die Zahlen, die er bekanntgegeben hat, an Sie die Lösung 

 Ihrer Probleme richten zu dürfen und ihm in meinem Namen 

 einige Fragen vorzulegen, die er, wie ich glaube, nicht so bald 

 entwirren wird, trotz der hohen Meinung, die Sie von ihm haben 

 und der ganz besonderen Fähigkeiten seines Geistes. 



Um besonders schwere Beispiele zu wählen und so, seinem 

 Wunsche gemäß, den Beweis von der Schärfe seines Verstandes 

 rühmlicher zu gestalten, wähle ich folgende Sätze : 



1. Ein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten zu 

 finden, dessen Inhalt wieder eine Quadratzahl ist. 



2. Gegeben sei die Summe der Hypotenuse eines recht- 

 winkeligen Dreieckes mit ganzzahligen Seiten und des Produktes 

 aller drei Seiten; es sind die Grenzen zu bestimmen, zwischen 

 denen der Inhalt des Dreieckes liegt. Bitte über die Addition 

 einer eindimensionalen mit einer dreidimensionalen Größe nicht 

 zu erstaunen; denn was die Zahlen anlangt, sind, wie man 

 weiß, alle Mengen homogen. 



3. Zwei Biquadrate zu suchen, deren Summe ein Biquadrat 

 ist, oder zwei Kuben, deren Summe ein Kubus ist. 



4. Drei Quadratzahlen zu suchen, die eine arithmetische 

 Progression bilden, deren Differenz gleichfalls ein Quadrat ist. 



Diesen vier Problemen füge ich noch zwei Theoreme hinzu, 

 die ich entdeckt habe und für die ich von Herrn St.-Croix Be- 

 weise erwarte. Sollte ich vergeblich warten, werde ich die Beweise 

 selbst mitteilen. Die zwei Sätze lauten : 



I. Jede ganze Zahl ist die Summe von 1, 2 oder 3 Dreieck- 

 zahlen, von 1, 2, 3 oder 4 Quadratzahlen, von 1, 2, 3, 4 oder 

 5 Fünfeckzahlen u. s. w. 



Diophant scheint den zweiten Teil dieses Satzes anzunehmen 

 und Bachet hat sich sehr bemüht, um ihn durch Versuche zu 

 beweisen, er hat jedoch den Beweis nicht gegeben. Ich glaube, 

 der erste gewesen zu sein, der diesen ebenso allgemeinen als 

 schönen Satz entdeckt hat, doch führe ich ihn hier noch nicht 

 an, um nicht aufdringlich zu erscheinen. 



II. Vermindert man irgendein Vielfaches von 8 um die 

 Einheit, so erhält man eine Zahl, die nur Summe von 4 Quadraten 

 ist, und zwar nicht allein in ganzen, was auch andere schon 

 erkannt haben mochten, sondern auch in gebrochenen Zahlen, 



