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was zu beweisen ich mich verpflichte. Dieser Satz zieht be- 

 merkenswerte . Folgerungen nach sich, die dem Herrn St.-Croix 

 möglicherweise bekannt sind, jedoch den Geist Bachets vergeblich 

 beschäftigt zu haben scheinen." 



An seinen Freund und Berufsgenossen sandte Fermat im 

 August 1659 (Oeuvres d. F. Tome II, S. 431) einen Brief, der 

 Andeutungen über seine Beweismethoden auf zahlentheoretischem 

 Gebiete enthält ; er lautet : 



„Da die gewöhnlichen Methoden, die in den Büchern ent- 

 halten sind, nicht genügten, diese schwierigen Sätze zu beweisen, 

 fand ich endlich einen ganz besonderen Weg, um ihnen beizu- 

 kommen. Ich nannte diese Art zu beweisen „die unendliche, oder 

 unbestimmte Abnahme". Ich bediente mich ihrer anfangs bloß 

 zum Beweise negativer Sätze, z. B. daß es keine um 1 vermin- 

 derten Zahlen gebe, als nur Vielfache von 3, die aus einem 

 Quadrate und dem Dreifachen eines Quadrates zusammengesetzt 

 sind. Daß es kein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten 

 gebe, dessen Inhalt eine Quadratzahl sei. 



Der Beweis erfolgt folgendermaßen : Gäbe es irgendein 

 rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten, dessen Inhalt 

 eine Quadratzahl wäre, so gäbe es auch ein anderes, kleineres 

 als jenes, das dieselbe Eigenschaft hätte. Gäbe es ein zweites 

 kleineres als das erste mit derselben Eigenschaft, so würde es 

 auf Grund einer ähnlichen Schlußreihe ein drittes geben, das 

 kleiner als das zweite wäre und dieselbe Eigenschaft hätte, endlich 

 ein viertes, fünftes u. s. w. immer abnehmend. 



Nun aber gibt es nicht unendlich viele ganze Zahlen, die 

 kleiner wären als irgendeine gegebene, woraus man schließt, daß 

 es kein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten gibt, 

 dessen Inhalt ein Quadrat wäre. Man schließt daraus auch, daß 

 es ein solches Dreieck auch in gebrochenen Zahlen nicht geben 

 kann, denn wenn es ein solches gäbe, müßte es auch eines in 

 ganzen Zahlen geben, was jedoch nicht sein kann, wie man durch 

 die „Abnahme" beweisen kann. 



Ich füge nicht den Grund dessen bei, aus dem hervorgeht, 

 warum es ein kleineres Dreieck geben müßte, wenn es irgend 

 eines gäbe, weil die Ableitung dessen zu lang wäre und außerdem 

 darin das ganze Mysterium meiner Methode beruht. Es wäre 

 mir sehr angenehm, wenn Pascal, Robervall und die anderen 

 Gelehrten diese Methode nach meinen Andeutungen suchten. 



