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Die längste Zeit war ich nicht imstande, meine Methode 

 auf positive Sätze anzuwenden, da der Pfad dahin viel ver- 

 schlungener ist als der der Anwendung auf negative. Ich hatte 

 die größten Schwierigkeiten zu überwinden, als ich den Satz, daß 

 jede Primzahl von der Form AU + I Summe von 2 Quadraten 

 ist ; zu beweisen hatte. Aber endlich klärte ich durch mehrmalige 

 Ueberlegung die Sache auf; die positiven Sätze waren meiner 

 Methode unterworfen mit Hilfe einiger neuer Prinzipien, die ich 

 notwendigerweise hinzufügen mußte. Der Fortschritt meines 

 Schließens in dieser Hinsicht ist folgender: 



Wenn eine angenommene Primzahl von der Form 4lH + 1 

 nicht Summe von 2 Quadraten wäre, gäbe es eine Primzahl der- 

 selben Form, kleiner als die angenommene, dann eine dritte noch 

 kleinere u. s. w. in „unendlicher Abnahme", bis man bei der Zahl 5 

 anlangte, die die kleinste Primzahl von der Form 4fl + 1 ist, und 

 welche nicht Summe von 2 Quadraten sein könnte, was sie jedoch 

 ist. Daraus läßt sich durch den Unmöglichkeitsnachweis der 

 ursprünglichen Annahme beweisen, daß alle Primzahlen von der 

 Form 4ft + 1 die Summe von 2 Quadraten sind. 



Es gibt unzählige Fragen dieser Art, es gibt aber auch 

 welche, die eine Anwendung von neuen Prinzipien verlangen, um 

 sich durch die Abnahme beweisen zu lassen; die Suche danach 

 ist bisweilen so schwierig, daß es der größten Mühe bedarf, um 

 dazu zu gelangen. Solcher Art ist folgende Frage, von der Bachet 

 zugibt, daß er sie niemals beweisen konnte, über welche Herr 

 Descartes in einem seiner Briefe dieselbe Erklärung abgibt, dort 

 wo er bekennt, daß er sie für derart schwierig hält, daß er keinen 

 Weg sieht, um sie zu lösen : 



Jede ganze Zahl ist ein Quadrat oder Summe von 2, 3 oder 

 4 Quadraten. 



Ich habe diesen Satz endlich meiner Beweismethode unter- 

 worfen und ich beweise, daß, wenn eine gegebene Zahl nicht von 

 dieser Natur wäre, es eine kleinere gäbe, die es umsoweniger 

 wäre, endlich eine dritte noch kleinere als die zweite u. s. w. ins 

 Unendliche; woraus man schließt, daß alle Zahlen von dieser 

 Beschaffenheit sind. 



Was ich Herrn Frenicle und andern aufgab, ist von eben- 

 solcher, oder noch größerer Schwierigkeit: 



Jedes Nichtquadrat ist von solcher Beschaffenheit, daß es 

 unendlich viele Quadrate gibt, die damit multipliziert ein Quadrat 



