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vermindert um 1 geben. (Die von Euler später fälschlich als 

 „PelFsche" bezeichnete Aufgabe. A. d. V.) 



Ich beweise diesen Satz durch die „Abnahme", die ich in 

 diesem Falle auf besondere Art anwende. Ich gebe zu ; daß Herr 

 Frenicle verschiedene besondere Lösungen gegeben hat und Herr 

 Wallis auch, aber der allgemeine Beweis ist nur auf dem Wege 

 der „Abnahme" zu finden, was ich ihnen hier andeute, damit sie 

 den allgemeinen Beweis des Theorems den speziellen Lösungen, 

 die sie bereits gefunden haben, hinzufügeD. 



Ich habe endlich gewisse Fragen erwogen, die obwohl negativ, 

 ziemlich große Schwierigkeiten verursachten; die Methode, um 

 darauf die „Abnahme" anzuwenden, ist ganz verschieden von den 

 vorhergehenden. Zu diesen Fragen gehören : 



1. Es gibt keinen Kubus, der in 2 Kuben zerfällbar wäre. 



2. Es gibt nur ein einziges ganzzahliges Quadrat, das um 

 2 vermehrt einen Kubus gibt. (25 + 2 = 27.) 



3. Es gibt bloß 2 ganzzahlige Quadrate, die um 4 vermehrt, 

 einen Kubus geben. Sie sind 4 und 121. 



4. Alle quadratischen Potenzen von 2, vermehrt um die 



k 



Einheit, sind Primzahlen (2 2 + 1). Dieser Satz bedarf wohl eines 

 ganz besonderen Scharfsinnes und ist, obwohl bejahend gefaßt, 

 negativ, weil, wenn man von einer Zahl sagt, daß sie Primzahl 

 ist, es heißt, daß sie durch keine andere geteilt werden kann. 



Ich führe hier folgende Frage an, deren Beweis ich an 

 Herrn Frenicle sandte, nachdem er mir eingestand, daß er ihn 

 nicht finden konnte : Es gibt nur 2 Zahlen, 1 und 7, die, um 

 1 kleiner als das Doppelte eines Quadrates, ein Quadrat derselben 

 Zahl als Summand enthalten. 



Nachdem ich alle diese Fragen durchstudierte, die meisten 

 sind von verschiedener Beschaffenheit und auf verschiedene Arten 

 zu beweisen, schritt ich an die Aufstellung von allgemeinen 

 Regeln, um die einfachen und doppelten Gleichungen Diophants 

 zu lösen. 



Man sagt z. B. 2 Q + 7967 = x 2 . 



Ich habe eine allgemeine Regel, um diese Gleichung zu 

 lösen, wenn sie möglich ist, und ihre Unmöglichkeit zu beweisen, 

 wenn diese zutrifft. 



