254 



sei sie geometrisch oder hypergeoinetrisch, in zwei mit ihr homogene 

 Größen zerfallen läßt. 



Bei kontinuierlicher Abnahme des z n ergeben sich folgende 

 Gleichungen : n 



z n = x n 4 jii 

 z n = Xj n 4 yn 

 Z, n = x. 2 n H" J 2 n 

 Z ? ? = x> + J," 



u. s. w. ad infinitum; somit: 



z^z l ^z 2 ^z/*=p w + q n =(x n +y n )(x, n +y/^)(x 2 n +y 2 w )(x : V w +y 3 ")- 



Wegen der kontinuierlichen Abnahme von z n kann gesagt 

 werden, daß jede Summe zweier homogener Größen, die der 

 Gleichung 1. genügen, aus Faktoren besteht, die alle, auch die 

 kleinsten, Summen zweier Größen desselben Grades sind. Anders 

 ausgedrückt lautet dieser Satz folgendermaßen : Jede beliebige 

 Summe von zwei homogenen Größen, die der Gleichung 1. genügen, 

 gibt, mit einer Summe von zwei Größen desselben Grades multi- 

 pliziert, wieder eine Summe zweier Größen desselben Grades. 



Satz : Tritt die Einschränkung der Kommensurabilität 

 der Wurzeln der drei Glieder der Gleichung 1. ein, so kann 

 ihr außer der 1. und 2. keine höhere Potenz genügen. 



Bew@iS : Die kleinsten Faktoren ganzer Zahlen sind die 

 absoluten Primzahlen, . die außer der Zahl 2 ungerade Zahlen, 

 somit als Summen je einer geraden und einer ungeraden Zahl 

 aufzufassen sind. Der Primfaktor 2 ist die Summe zweier belie- 

 biger Potenzen von 1. 



Die ganzzahligen Summen von zwei Potenzgrößen desselben 

 Grades lassen sich allgemein einteilen in solche von der Form: 

 a (2n 4- 1) 2 m + b (2n 4 1) 2 m ^ ^ ^ . & 2 n + tf? 



1. Ganzzahlige Summen von der Form : 

 a (2n + 1)2*^ b (2n + 1) 2 m 



können, da sie durch a -h b teilbar sind, keine absolute Primzahl 

 ergeben. Umgekehrt ausgedrückt heißt dies, daß es in der unend- 

 lichen Reihe der ungeraden absoluten Primzahlen keine einzige 

 gibt, welche die Summe von zwei derartigen Potenzgrößen wäre. 



Daraus folgt, daß Summen dieser Form, da ihre kleinsten 

 Faktoren eben die Primfaktoren sind, der aus der Gleichung 1 

 abgeleiteten Konsequenz nicht genügen können, außer wenn n = 



