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ALF GULDBERG. 



[No. 18. 



Dans le cas d'une équation du premier ordre, M. Vessiot 1 

 a traité la question dans toute sa généralité; il a fait voir que 

 par une transformation ponctuelle on peut ramener toute équation 

 qui posséde un systéme fondamental d'intégrales å un des trois 

 types trouvés par M. Konigsberger. 



Le but de cette communication est d'étendre les resultats 

 obtenus par M. Vessiot å un systéme de n équations 2 . 



Revenant au systéme (I), nous supposons qu'on peut, d'une 

 maniére déterminée, toujours la méme, exprimer la solution 

 générale: 



X\ %2 . . . . #n 



par un certain nombre irreductible des solutions particuliéres : 



(1) (1) (2) (2) (m) (m) 



V,-*- ) Xi .... %xi) Xi .... Æn.) , X\ . . . Xxi 



et n constantes arbitraires a par des formuies connues ou in- 

 connues : 



(1) (1) (m) (m) 



(2) Xi = fi {X! . . . Æ n , . . . Xl . . . X n , «1 ... On) 



(t a 1 . 2i . . . n) 



qui subsistent lorsqu'on y remplace les solutions particuliéres (1) 

 par m autres systémes quelconques de solutions particuliéres. 



Si nous écrirons les équations (2) pour m systémes de 

 valeurs des constantes arbitraires, nous obtiendrons les équa- 

 tions : 



k (1) (1) (m) (m)k k 



(3) #i=/i (Xi...X n ,...,Xi... X n , ai . . On) 



(i = 1 . 2 . . . n, k = 1 . 2 . . . m) 



k ( k ) 



qui définissent un groupe continu en x- x et Xi, une fois transitif, 



k k 



aux parametres ai . . . a n . 



Or si Ton a un groupe en x 4 et x, une fois transitif, aux 

 parametres a: 



x[ = f i (xi ..x n ,ai.. a n ) 

 (i = 1.2...») 



1 Vessiot: Annales de 1'école normale, 1893. 



2 Cfr. Guldberg: Comptes rendus, lier Mai 1893. 



