— 210 — 



gäller formeln (II), med vilkor att m— 1 tages >r, varande då 

 i sjelfva verket konstanten 



i— o " 



OcA /w* ^ AeZ£ ZaZ = 2r eWer 2r+l (indus. 1) erhålles af (I"), 

 for alla möjliga valörer af cc, identiteten 



(II") i ~S(a + iy = —(p(a) + 



SS+^i _.(„+„),[, Jl(_iy- Si , 



memligen <£>(«) oberoende af n och determinerad genom formeln 



(5) ^^-j^-g-i).-,^; *| _ 



Anmärkning. Denna sistnämnda, i sjelfva verket särdeles 

 anmärkningsvärda, funktion af de BERNOULLi'ska ta- 

 len kan, då den är känd för någon cf-valör, beräknas 

 för cc+1 (och vice verså) genom en synnerligen enkel 

 rekursionsformel, den der såsom én specialitet innefat- 

 tar ofvan angifna formel (A), äfvensom — åtminstone 

 för jemna ^-valörer — formeln (B) här ofvan. 



Denna nya, mycket generela, rekursionsformel för 

 de BERNOULLi'ska talen, är följande: 

 («+ l^+i— 



(C) a 



fX+ 1 



3 



eller, helt enkelt: 

 (C) <p(a + l) = (f>(a)+a f \ 



gällande för alla möjliga a-valörer, då fl är helt 

 tal, vare sig, 2r eller 2r+l (inclus. 1), och erhålles 

 omedelbart ur formeln (II") genom att deruti sätta 

 n + 1 i stället för n och subtrahera. 



