— 211 — 



T. ex. af (p(0) = o följa successivt: 



<^(l) = o, eller rekursionsformeln (A)*', 



9/*+' i=r u n -> 



y(2)=L ri -2-[ 1 -«(-l)-.^^] = 1 , 



(6) , ()! . 1)= ^_^-f (-irv^,?> 



i=w — 1 



= $(1 + 0". - 



Tillämpningen af formlerna (II) här ofvan är naturligtvis lika 

 mångfaldig som antalet combinationer af positiva x- och /i-va- 

 lörer. I den afhandling. hvarom här är fråga, considereras den 



OS 



enda, vanligaste, händelsen — = 1 ; hvilket tydligen gör tillfyllest 



för att evaluera den förra af summorna (3)**\ Den förra af 

 summorna (4) är redan genom formeln (II") evaluerad. 



x + h 



3. Sedan derefter, genom insättning af — - — i stället för at 



i formeln (I), formler — analoga med de 3:ne formlerna (I), (I') 

 och (I") — erhållits för evalueringen af summan 



*} Positionen « = — ^ bringar (C) att ätergifva rekursionsformeln (B) för jemua 

 |U-valörer. 



*) För att här åtminstone i någon man antyda användbarheten af de formler, 



som på detta sätt erhållas för evalueringen af summan f>S {l -(- i)/ 1 , mä näm- 



i=o 



nas, att den formel, som ur (II') erhålles för summering af den harmoniska 

 serien 1, \, \, \, 5, etc., gifver summan 

 i— 1000 



«f \ > 7,4854708(30550336 



och < 7,485470800550345, 

 således känd t. o. m. 13:e decimalen, redan genom antagningen m = 2 (snpple- 



mentartermeu är positiv och <(0,1) 12 — eller 0,00000 00000 00008 333...). 



4 



Man erhåller i sjelfva verket af den sistnämnda formeln i alla händelser 

 tillfyllestgörande gränspar för termsumman af nämnda harmoniska serie ome- 

 delbart och således mera direkt än på den väg, som af Hr Catalan i Compte 

 rendu för d. 22 sistl. Sept. blifvit angifven. 



