När iiro de n första termernc af Bernoullis serie 

 gifvcn funktion af den i den sista ingående derivatanl 



— Hr Hill hade meddelat följande lösning af detta problem: 



»Vi vete, att om Taylors Theorem skrifves så: 



fx+y = /. x + yfx%+y ''/<>%+ +' + y n f, l x + Ri ^ er är resten och y 

 sättes — —x, så fås Bernoullis serie fo=fx- xf^ + x^f^x — - 



n 



H — x-f n x.+ R, — och frågan är nu att bestämma fx så, att de 

 här utförde n+\ termerne eller deras motsvarande värde fo — R 

 blir en gifven function (p af f n x, som vi sätta == r. Frågan är 

 således att lösa denna differential-eqvation af n:te ordningen (om 

 fx sättes = y, och &"f för d"f: 1 • 2-3--?i) 



X 



y-xdy->rx-& 2 y — x*& :i y + - + — x & n y = (f {S- n y). 



n 



Genom differentiation förenklar den sig betydligt, till — x-dO-"y= 

 (pi{0~ n y)'dO- n y , och söndras i tvenne faktorer d& n y — o och 



— x=(p l (& n y), af hvilka den förra ger y = n°x (d. ä. y = en 

 ?<-gradig helfunktion af xf, och den sednare, (om (p l x — z ger 



— n 



x=(f i z), 



&"y = (<p i r , ((-x) n ), eller d"y = 1 - 2- 3 - « - (99,)-' {-x)*-Ix\ 

 således 



y=1.2..«./"(^,)-((-.f)")W. 

 Kompletta Mntegralet erhålles således ganska lätt, jemte ett sin- 

 guliert. 



Anm. 1. Detta problem föranleder också åtskilliga märkliga 

 betraktelser. Så om t. ex. n sättes blott =2, fx=y, dy=pdx, 



—n 



dp = 2rdx, så, då x' 2 = (p l r och tvärtom r = (p x (x 2 ), samt 



x = \ ' (p x r, blir cZp = 2r • d V(f , r, och p = f2r-d\/(f x r = 



2r- y/(f x T — 2fdrV(p { r, samt y både —2-fdx (p^x 2 ) och 



= fpdx = px — fxdp , varande fxdp=f'V(p i r-2rd'V(p l r = 

 r(p x r — (pr — Qt , af hvilkas jemförande följer detta integral: 



2 • / it' (p l (ar) = p • V (f { r — + (fr + Qt , 



d/Vers. af K. Vet.-Akad. Förh., d. 10 Juni 1857. 



