Anm. 3. Vidare följer häraf ett 



Enkelt bevis af Taylors T7ieorem. 

 Sätt u = fx — xf i x + x^x — •• + - 1 x T ~ l f r _^ x + B, och 

 df T - i x=r-f r x, och således d(x r ~ i f r _ l x) = r—lx r ~ i f r _ l x+rx r ~ l f r x, 



X - X 



så blir du = —\-rx r ~ i f T x + dR, och följaktligen genom inte- 



X X 



gration R = u+ —l-r-f x r ~ l dxf r x +C = seriens rest, särdeles om 

 C bestämmes af x = o, då R = o, och u=fo, och härföre 



r o 



R = u + — 1 • rf x r ~ 1 dxf T x —fo , hvadan fo =fx — xf t x + x 2 Lx — 



X 



+ -lx T ~ 1 f r _ i x+-l-ff r xdx r . Sättes nu fx = (p(c + x), och 



således fo = <pc, samt c — a — x, så blir således (pa-x = fo — 

 (pa — xcp x a + x 2 (f^a 1 1 x r ~ i f r _ i x + ^, samt Taylorska 



c o ■ r o 



resten f r xdx r = — 1 • f<p r c + xd(x r ), och om x = -y, 



(f(a+y) = (fa J ry(p^-\-y' i ^ a +■••■■• + y r 1 (f T - x a+f (p T c-\-xdx r . 



y 



Följd. 1) Om £ tages ur föregående eqvation, så fås tvertom 

 detta integral alltid under flnit form, när r är positivt helt tal. 



2) Men då ock samma rest £ kan på åtskilliga andra sätt 

 uttryckas genom definit integral, så fås ock häraf åtskilliga märk- 

 liga jemförelser mellan särskilta definita integraler. Så t. ex. fann 

 jag fordom resten R n =y n (<p n a+y<p n+ ia + y- <p n+s a+) (efter se- 



nen for (fa + y) = I — 1 I i , om 1" har den i theo- 



c 



rien för binomiska rötter antagna betydelsen, och _y<c<a (eller 

 (pa + c — (pa+c(p i a^c l cp l a + .). Detta integral blir derföre lika 



o 



med det föregående, eller = f dy" (p n {c — y), om häri efter inte- 

 gration för c sättes a+y. 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. Årg. 14. N:o 6. 



5 



