Untersuchungen iiber Differentialgleichungen. I. 



Sophus Lie. 



Im Folgenden gebe ich eine kurzgefasste Begriindung von 

 mehreren Untersuchungen iiber Differentialgleichungen, die ich dieser 

 Gesellschaft schon friiher ohne Beweis raitgetheilt habe. 



I. Ueber Flachen, der en Haupttangrntcnnirvcn lincaren Com- 

 plexen angehoren. Wenn man auf Flachen mit spharischen oder 

 ebenen Krummungslinien diejenige merkwiirdige Beriihrungstrans- 

 formation anwendet, welche Krummungslinien in Haupttangenten- 

 eurven umwandelt, so erhalt man, wie ich liingst (Math. Ann. Bd. 

 V., p. 232) angegeben habe, immer Flachen, auf denen jede Haupt- 

 tangentencurve von der einen oder von beiden Schaaren einem 

 linearen Complexe angehort. Hierzu fiigte ich ausdriicklich (Archiv 

 for Math. Bd. VI, p. 124) die Bemerkung, dass jene Transformation 

 alle Flachen von der besprochenen Beschaft'enheit liefert. Das 

 hiermit erledigte Problem kann indess, wie ich schon friiher ange- 

 deutet habe (Chr. Videnskabsselskabs Forhandlinger 1879, p. 4) 

 durch eine bemerkenswerthe direkte Methode gelost werden. Ich 

 werde die Grundziige dieser Methode entwickeln. Mein Ausgangs- 

 punkt ist der folgende Satz. 



Zieht man durch drci consecutive Punkte cincr EaupUangenten- 

 curve jedesmal diejenige Haupttangentc, welche die Curve unter end- 

 lichem Winkel schncidet, so erhalt man drei bcnachbarte Gcradc. die 

 offenbar eine Fldclw -irritvn Gradrs bcstimmen. Fiihrt man diese 

 Vid.-Selsk. Forh. 1882. No. 21. 1 



