4 S. LIE. UNTERSUCHUNGEN OBEB DIFEERENTIALGLEICHUXGEN. I 



Ebenfalls erkennen wir, dass die Haupttangenten H, welche 

 die Flacbe in den Punkten einer Curve k beriihren, einer linearen 

 Congruenze (c) mit den Direktricen d und 8 angehoren. 



Ich behaupte, dass die vier Direktricen D, A, d, 5 ein Vier- 

 seit im Raume bilden. Construirt man in der That iin Schnitt- 

 punkte der beiden Curven K und h die nach dem friiher be- 

 sprochenen Theorerae zugeordnete Flache zweiten Gradis, so ist 

 leicht zu erkennen, das D und A Erzeugende des einen Systems, 

 d und 5 Erzeugende des zweiten Systems sind. Hieraus folgt, dass 

 jede Congruenz (C) nach Kleins Terminologie mit jeder Congruenz 

 (c) in Involution liegt. Also: 



Die Complexe C und c liegcn immer in Involution, 



Diese nothwendige Forderung ist auch hinreichend. Man be- 

 weist in der That, dass die beiden partiellen Differentialgleichun- 

 gen 1. 0. 



F(xyepq)~0, f(xyzpq) = 



welche oo x Complexen C und oo» mit ihnen in Involution liegen- 

 den Complexen c entsprechen, immer oo 1 gemeinsame Integral- 

 flachen besitzen. Und zwar konnen diese gemeinsame Integralflachen 

 immer durch Quadratur bestimmt werden. 



Es giebt zwei wesentlich verschiedene Fiille. Es is denkbar, 

 dass alle Complexe 6 1 (oder c) eine gemeinsame lineare Congruenz 

 enthalten. Die entsprechenden Fliichen sind Regelflachen, die 

 dieser Congruenz angehoren. Sehen wir von diesem Falle weg, 

 so kann ich in allgemeinster Weise folgendermassen verfahren. 

 Ich nehme Kleins sechs paarweise in Involution liegende Complexe 



und betrachte in den (Jleichuugen 



die Constante y. als Funktion von X, und ebenfalls p als Funktion 

 von v. Dann bestimmen meine Gleichungen zwei Schaaren in Invo- 



