CHEISTIAXIA YLDENSK.-SELSK. FORHANDL. 1 8 8 2. No. 21. 9 



Hierzu fiige ich die folgenden naheren Entwickelungen. indem ich 

 mich jedoch auf Transfbrmationsgruppen der Ebene beschrancke. 1 

 1st 



x = f (x'y'a, a 2 ...a tt )=f(a) 

 x = o{x'y'a x a,...a n ) = 9 (a) 

 die Gleichungen der Transformationsgruppe, so ist die Gleichung 



Q (f (a) 9 (*))>= 0, 

 die ausser der a noch eine beliebige Anzahl Parameter entlialten 

 mag, offenbar die allgemeine Definitionsgleichung einer Curven- 

 schaar, welche die Transformationsgruppe gestattet, Durch Diffe- 

 rentiation hinsichtlich x und Elimination der Parameter /' kann 

 man in jedem Falle die entsprechende Differentialgleichung finden. 



"Wen n eine Curvenschaar eine Transformationsgruppe besitzt, 

 so sind zwei west r.tlkli viTscliiulene Falle mogiich, jenachdem jede 

 Curve der Schaar eine inf. Transformation der Gruppe gestattet 



Lass mich annehmen, class die Gruppe n Parameter enthalt, 

 und dass sie jedes allgemeines Werthsystem xyy 1 ...y (n ~v in jedes 

 anderes transformer. Fiihre ich nun alle Transformationen der 

 Gruppe aus auf ein beliebiges Werthsystem x y . . . y n ~- . . . y m ~ 2 

 wo m grosser als n ist, so erhalt dasselbe oc" Lagen, die durch 

 m — n Gleichungen der Form 



9k y y' • • • y (n_2 . . y m ~ 2 ) = #k = Const, 

 bestimmt werden. Und folglich ist die Gleichung 



0(9,92... ?m- n ) = 

 die allgemeine Form einer Differentialgleichung (m — 2) ter Ordnung, 



1 Schon in 1874 lenkte ich die Aufmerksamkeit (Gottinger Nachr.) auf solche 



gleich (Math. Ann. Lid. XI) eine rationelle Intcgrationstheorie fur lineare 

 partielle Differentialgleichungen 1. 0. dieser Art, Schon in 1874 kiindigte ich 

 an, dass diese meine Theorie den grossttnoglichen Vortheil aus hekannten inf. 

 Transformationen zu Ziehen lehrt. In der zuerst citirten Arbeit gab ich eine 

 vollstiindige Bestimmung aller Gruppen der Ebene, und zugleich eine erschop- 



