2 S. LIE. UNTERSUCHUNGEN UBER DIFEERENTIALGLEICHUNGEN. II. 



wo X, Y, Z gewisse Funktionen von x y z sind. Nimmt man 

 eine beliebige Anzahl Integralcurven des simultanen Systems (2), 

 so bestimmen ihre Sclinittpunkte mit den Ebenen z = Const, projec- 

 tivische Figuren. 



Kenne ich nun ein Integral des Systems (2), so ist es, be- 

 haupte ich, immer moglich das System (1) durch Quadratur zu 

 integriren. ^Sei in der That 



9(***)~ c ( 3 ) 



ein solches Integral. Dasselbe bestimmt, konnen wir sagen, eine 

 Schaar Flaehen, deren jede die Ebenen z = Const, nach projecti- 

 schen Curven schneidet. Im Allgemeinen geniigt es eine solche 

 Flache, die dem particularen Werthe (7 — C entspricht, zu kennen. 



Lass mich in der That annehmen, dass die Flache 9 = G 

 die Ebenen z = Const, nach Curven schneide, die keineMineare 

 und infinitesimale Transformationen in sich gestatten. Dann giebt 

 es nur eine (oder einige discrete) lineare Transformation, welche 

 eine gewisse Schnittcurve in eine beliebige andere iiberfuhrt. 



Kcnnt man dahcr eine von Integralcurven crzcuyte Flache, 

 do-en Schnittcurve mit eincr Khcnc z ~ Const, h ine lineare und inf. 

 Transformation in sich yestattet, so ist die Integration des simul- 

 tanen Systems als geleistet zu betrachten. 



Lass uns nun voraussetzen, dass jede Schnittcurve der Flache 

 9 = C mit einer Ebene z = Const eine und nur eine lineare und 

 inf. Transformation in sich gestattet. Alsdann stellt sich die Frage, 

 wie die Punkte je zweier Schnittcurven durch die gesuchten Inte- 

 gralcurven zusammengeordnet sind. Diese Frage druckt sich aus 

 durch eine Riccatische Differentialgleichung 1. 0. mit zwei bekann- 

 ten Particularlosungen. Daher geniigt eine Quadratur zur Erledi- 

 gung dieser Hiilfsgleichung, und somit zugleich zur Integration des 

 simultanen Systems. 



Der Fall bleibt ubrig, dass die Flache 9 = Q jede Ebene 

 * = - Const, nach einer Curve schneidet, welche mehr als eine, und 

 also drci lineare und inf. Transformationen in sich gestattet. In 



