4 S. LIE. UNTEESUCHUNGEN UBER DIEFEEENTIALGLEICHUNGEN. II. 



so verlangt die Integration des vollstandigen Systems bekanntlich 

 nur die Integration einer einzigen Hulfsgleichung; diese Gleichung 

 kann unter den gemachten Voraussetzungen immer auf eine solche 

 Form gebracht werden, dass die im Vorangehenden angedeuteten 

 Theorien Anwendung finden. 



Gestattet z. B. eine Differentialgleichung 3. 0. zwischen x und 

 y alle lineare Transformationen der Ebene cc y, die einen Kegel- 

 schnitt invariant lassen, so reducirt sich Alles nach einer fruheren 

 Bemerkung von mir auf eine Biccatische Gleichung. Dasselbe tritt 

 ein, wenn eine Differentialgleichung sechster Ordnung alle lineare 

 Transformationen gestattet, die eine Gerade invariant lassen. 



Gestattet eine Differentialgleichung achter Ordnung alle line- 

 are Transformationen der Ebene, so verlangt ihre Integration nach 

 meinen alten Theorien nur die Erledigung einer Hulfsgleichung 

 2. 0., die nach einer Bemerkung von Halphen, durch eine lineare 

 Gleichung 3. 0. ersetzt werden kann. 



1st uberhaupt die im Vorangehenden besprochene Gruppe 

 B l f '. . .B n - T f gleichzusammengesetzt mit der allgemeinen linea- 

 ren Gruppe eines Raumes i? v , so ist nur die Erledigung einer li- 

 nearen Hulfsgleichung (v + l) ter Ordnung erforderlich. 



In meiner vierten Abhandlung iiber Flachen constanter Kriim- 

 mung (Archiv for Math, og Nat. 1880, p. 332) fand ich die Formel 



1 h k(^-^)-p{y-y)r 

 aus der ich jetzt einige neue Consequenzen ziehen werde. Zur 

 Abkiirzung setze ich wie fruher 



q{x-x x ) ~i>(y- yi ) = JY, 



