81 



Form af Ligningerne (9) ville vi senerehen gjore vigtige Anven- 

 delser af detle Transformations-Princip. 



§ 5. 



Transformation af partielle Differ entialligninger. 



13. Legendre 1 har forst givet en almindelig Methode for — i 

 den rnoderne Geometris Sprog — at overfore en partiel Differen- 

 tialligning mellem Punkt-Coordinater xyz i en Differentialligning 

 mellern Plan-Coordinater t, u, v, eller — som man ogsaa kan 

 sige — mellem Punkt-Coordinater t, u, v, for et Rum, som staar 

 i et reciprokt Forhold til det givne. 



Indferer man Curverne c som Element for Rummet r, saa er det 

 paa Ugnende Viis muligt at transformers en partiel Differentialligning 

 mellem x, y, a i en Differentialligning mellem del nye Rum-Elements 

 Coordinater XYZ, hvorved man ogsaa kan interpreter X, Y, Z 

 som Punkt-Coordinater for Rummet R, — en Opfatning, som vil 

 vaere den fremtrsedende i vor Frernstilling. 



Vsere da givet en hvilkeusomhelst partiel Differentialligning 

 af forste Orden mellem x, y, z og alle Flader vL>, som fremstille et 

 saakaldet „integral complet" af samme, hvor man maa erindre, at 

 enhver anden Integralflade f lader sig fremstille som Envellop af 

 enkelt uendelig mange 4>- 



Man betragte endvidere i Rummet R alle Flader og *, der 

 svare til Fladerne og f. Vi skulle strax paavise, at 'enhver F 

 er Omhyllingsfladen af enkelte uendelig mange *P, at altsaa Fla- 

 derne F tilfredsstille en partiel Differentialligning af forste Orden, 

 for hvilken alle ^ danne et „integral complet." 



To i r givne Flader, der besidde et frelles Flade-Element, af- 

 bdde sig nemlig i R som Flader, der berore hinanden, og ligesaa 

 overferes Flader, der besidde uendelig mange fselles Flade-Ele- 

 menter, i Flader, der som de givne berore hinanden efter en Curve. 



Dette forudsat, betragte man en Integralflade f og alle enkelt 

 uendelig mange der berere samme efter en characteristisk 

 Curve, samt endelig de tilsvarende F og *P . Det er indlysende, 

 at F berores af hver *P efter en Curve, at altsaa F er Omhyl- 

 u'ngsfladen af alle 

 ' Man sammcnligne ogsaa: Plucker, Geometrie dea Ranmes. § 2. (184G). 



Vi.lensk.-Selsk. Forh. 1871. 6 



